Теорема Байеса

Что такое Теорема Байеса?

Теорема Байеса, названная в честь британского математика 18 века Томаса Байеса, представляет собой математическую формулу для определения условной вероятности . Условная вероятность – это вероятность наступления результата, основанная на предыдущем исходе. Теорема Байеса дает возможность пересмотреть существующие прогнозы или теории (обновить вероятности) с учетом новых или дополнительных свидетельств. В финансах теорему Байеса можно использовать для оценки риска предоставления денег в долг потенциальным заемщикам.

Теорема Байеса также называется правилом Байеса или законом Байеса и является основой области байесовской статистики.

Ключевые моменты

  • Теорема Байеса позволяет обновлять прогнозируемые вероятности события за счет включения новой информации.
  • Теорема Байеса была названа в честь математика 18 века Томаса Байеса.
  • Он часто используется в финансах для обновления оценки рисков.

Понимание теоремы Байеса

Приложения теоремы широко распространены и не ограничиваются финансовой сферой. Например, теорему Байеса можно использовать для определения точности результатов медицинских тестов, принимая во внимание вероятность того, что у любого человека есть болезнь, и общую точность теста. Теорема Байеса полагается на включение априорных распределений вероятностей для генерации апостериорных вероятностей . Априорная вероятность в байесовском статистическом выводе – это вероятность события до того, как будут собраны новые данные. Это лучшая рациональная оценка вероятности исхода, основанная на текущих знаниях до проведения эксперимента. Апостериорная вероятность – это пересмотренная вероятность наступления события после учета новой информации. Апостериорная вероятность рассчитывается путем обновления априорной вероятности с помощью теоремы Байеса. С точки зрения статистики, апостериорная вероятность – это вероятность наступления события A при условии, что событие B произошло.

Таким образом, теорема Байеса дает вероятность события на основе новой информации, которая связана или может быть связана с этим событием. Формулу также можно использовать, чтобы увидеть, как на вероятность возникновения события влияет гипотетическая новая информация, предполагая, что новая информация окажется верной. Например, предположим, что из полной колоды из 52 карт берется одна карта. Вероятность того, что карта – король, равна четырем разделенным на 52, что равно 1/13 или примерно 7,69%. Помните, что в колоде четыре короля. Теперь предположим, что обнаружено, что выбранная карта является лицевой картой. Вероятность того, что выбранная карта – король, если это лицевая карта, равна четырем разделенным на 12, или приблизительно 33,3%, поскольку в колоде 12 лицевых карт.

Формула теоремы Байеса

п(А∣B)знак равноп(А⋂B)п(B)знак равноп(А)⋅п(B∣А)п(B)жчере:п(А)знак равно Тче ртоббялятуоеоссутрянг   п(B)знак равно Тче ртоббялятуофВоссутрянг   п(А∣B)знак равноТче ртоббялятуойгяvепВ    п(B∣А)знак равно Тче ртоббялятуоеБгяvен    п(А⋂B))знак равно Тче ртоббялятуоеботчпдВоссутрянг      \begin{aligned} &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap{B}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right)}\\ &\textbf{where:}\\ &P\left(A\right)=\text{ The probability of A occurring}\\ &P\left(B\right)=\text{ The probability of B occurring}\\ &P\left(A|B\right)=\text{The probability of A given B}\\ &P\left(B|A\right)=\text{ The probability of B given A}\\ &P\left(A\bigcap{B}\right))=\text{ The probability of both A and B occurring}\\ \end{aligned}​P(A∣B)=P(B)

Примеры теоремы Байеса

Ниже приведены два примера теоремы Байеса, в первом примере показано, как можно вывести формулу на примере инвестирования в акции с использованием Amazon.com Inc. ( AMZN ). Второй пример применяет теорему Байеса к тестированию фармацевтических препаратов.

Вывод формулы теоремы Байеса

Теорема Байеса просто следует из аксиом условной вероятности. Условная вероятность – это вероятность события при условии, что произошло другое событие. Например, можно задать простой вопрос о вероятности: «Какова вероятность падения курса акций Amazon.com?» Условная вероятность продвигает этот вопрос еще дальше, задавая вопрос: «Какова вероятность падения курса акций AMZN с учетом того, что индекс Dow Jones Industrial Average (DJIA) упал раньше?»

Условная вероятность A при условии, что B произошло, может быть выражена как:

Если A: «Цена AMZN падает», то P (AMZN) – вероятность того, что AMZN упадет; и B: «DJIA уже упал», а P (DJIA) – вероятность того, что DJIA упал; тогда выражение условной вероятности читается как «вероятность того, что AMZN упадет при снижении DJIA, равна вероятности того, что цена AMZN снизится и DJIA снизится, по сравнению с вероятностью снижения индекса DJIA.

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN и DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN и DJIA) – это вероятность возникновения как  A, так и B. Это также то же самое, что вероятность появления A, умноженная на вероятность того, что B произойдет при условии, что A произойдет, выраженная как P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Тот факт, что эти два выражения равны, приводит к теореме Байеса, которая записывается как:

если, P (AMZN и DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

тогда P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).

Где P (AMZN) и P (DJIA) – вероятности падения Amazon и Dow Jones без учета друг друга.

Формула объясняет взаимосвязь между вероятностью гипотезы до получения доказательства P (AMZN) и вероятностью гипотезы после получения доказательства P (AMZN | DJIA) с учетом гипотезы для Amazon, представленной доказательствами в Dow.

Численный пример теоремы Байеса

В качестве числового примера представьте, что существует тест на наркотики с точностью 98%, то есть в 98% случаев он показывает истинно положительный результат для кого-то, кто употребляет наркотик, и в 98% случаев он показывает истинно отрицательный результат для тех, кто не употребляет наркотик. препарат, средство, медикамент. Далее предположим, что 0,5% людей употребляют наркотик. Если человек, выбранный наугад, дал положительный результат на наркотик, можно произвести следующий расчет, чтобы определить, насколько вероятно, что человек действительно употребляет наркотик.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%

Теорема Байеса показывает, что даже если человек дал положительный результат в этом сценарии, на самом деле гораздо более вероятно, что человек не употребляет наркотик.