Модель Блэка-Шоулза

Что такое модель Блэка-Шоулза?

Модель Блэка-Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), представляет собой математическую модель для ценообразования опционного контракта. В частности, модель оценивает изменение финансовых инструментов во времени.

Понимание модели Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза — одна из важнейших концепций современной финансовой теории. Он был разработан в 1973 году Фишером Блэком, Робертом Мертоном и Майроном Скоулзом и широко используется до сих пор. Это считается одним из лучших способов определения справедливой цены опционов. Модель Блэка-Шоулза требует пяти входных переменных: цена исполнения опциона, текущая цена акции, время до истечения срока, безрисковая ставка и волатильность.

Также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), это была первая широко используемая модель ценообразования опционов. Он используется для расчета теоретической стоимости опционов с использованием текущих цен на акции, ожидаемых дивидендов, цены исполнения опциона, ожидаемых процентных ставок, времени до истечения срока и ожидаемой волатильности.

Первоначальное уравнение было введено в работу Блэка и Скоулза 1973 года «Стоимость опционов и корпоративных обязательств», опубликованную в Журнале политической экономии. Блэк скончался за два года до того, как Скоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике 1997 года за их работу по поиску нового метода определения стоимости производных финансовых инструментов.(Нобелевская премия не вручается посмертно; однако Нобелевский комитет признал роль Блэка в модели Блэка-Шоулза.)

Блэк-Шоулз утверждает, что инструменты, такие как акции или фьючерсные контракты, будут иметь логнормальное распределение цен после случайного блуждания с постоянным дрейфом и волатильностью. Используя это предположение и принимая во внимание другие важные переменные, уравнение выводит цену опциона колл европейского образца.

Входными данными для уравнения Блэка-Шоулза являются волатильность, цена  базового актива,  цена  исполнения опциона, время до истечения срока опциона и безрисковая  процентная ставка. С помощью этих переменных продавцы опционов теоретически могут устанавливать рациональные цены на продаваемые ими опционы.

Кроме того, модель предсказывает, что цена активно торгуемых активов следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. Применительно к опциону на акции модель учитывает изменение постоянной цены акции, временную стоимость денег, цену исполнения опциона и время истечения срока действия опциона.

Предположения Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза делает определенные предположения:

• Опцион является европейским и может быть исполнен только по истечении срока его действия.
• В течение срока действия опциона дивиденды не выплачиваются.
• Рынки эффективны (т. Е. Движения рынка невозможно предсказать).
• При покупке опциона транзакционные издержки отсутствуют.
• Ставка без риска и волатильности базового известны и постоянным.
• Доходность базового актива распределяется по нормальному логарифмическому принципу.

Хотя исходная модель Блэка-Шоулза не учитывала эффекты дивидендов, выплачиваемых в течение срока действия опциона, модель часто адаптируется для учета дивидендов путем определения   стоимости базовых акций на дату экс-дивидендов. Многие маркет-мейкеры, торгующие опционами, также модифицируют модель, чтобы учесть влияние опционов, которые могут быть исполнены до истечения срока их действия. В качестве альтернативы фирмы будут использовать трехчленную модель или модель Бьерксунда-Стенсланда  для ценообразования наиболее часто торгуемых опционов в американском стиле.

Формула Блэка-Шоулза

Математика, используемая в формуле, сложна и может напугать. К счастью, вам не нужно знать или даже понимать математику, чтобы использовать моделирование Блэка-Шоулза в ваших собственных стратегиях. У трейдеров опционов есть доступ к множеству онлайн-калькуляторов опционов, и многие из сегодняшних торговых платформ могут похвастаться надежными инструментами анализа опционов, включая индикаторы и электронные таблицы, которые выполняют вычисления и выводят значения цен опционов.

Формула колл-опциона Блэка-Шоулза рассчитывается путем умножения цены акции на кумулятивную стандартную функцию нормального распределения вероятностей. После этого чистая приведенная стоимость (ЧПС) страйковой цены, умноженная на кумулятивное стандартное нормальное распределение, вычитается из результирующего значения предыдущего расчета.

В математической записи:

Искажение волатильности

Блэк-Шоулз предполагает, что цены на акции имеют логнормальное распределение, поскольку цены на активы не могут быть отрицательными (они ограничены нулем). Это также известно как   распределение Гаусса.

Часто наблюдается значительная асимметрия цен на активы   и некоторая степень  эксцесса (толстые хвосты). Это означает, что нисходящие движения с высоким риском часто происходят на рынке чаще, чем предсказывает нормальное распределение.

Допущение логнормальных цен базовых активов должно показать, что подразумеваемая волатильность одинакова для каждой страйковой цены в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако после рыночного краха 1987 года подразумеваемая волатильность опционов при деньгах была ниже, чем волатильность опционов с более низкой или высокой доходностью. Причина этого явления заключается в том, что рынок оценивает цены с большей вероятностью того, что высокая волатильность переместится в нисходящую сторону.

Это привело к наличию перекоса волатильности. Когда предполагаемая волатильность для опционов с одинаковой  датой истечения срока действия  отображается на графике, можно увидеть улыбку или форму перекоса. Таким образом, модель Блэка-Шоулза неэффективна для расчета подразумеваемой волатильности.

Ограничения модели Блэка-Шоулза

Как указывалось ранее, модель Блэка-Шоулза используется только для определения цены европейских опционов и не принимает во внимание возможность исполнения американских опционов до истечения срока их действия. Более того, модель предполагает, что дивиденды и безрисковые ставки постоянны, но в действительности это может быть неверно. Модель также предполагает постоянную летучесть останки над жизнью опциона, что это не так, потому что волатильность колеблется в зависимости от уровня спроса и предложения.

Кроме того, другие предположения — что нет транзакционных издержек или налогов; что безрисковая процентная ставка постоянна для всех сроков погашения; что короткие продажи ценных бумаг с использованием доходов разрешены; и что нет никаких возможностей безрискового арбитража — это может привести к ценам, которые отклоняются от реального мира, где присутствуют эти факторы.

Часто задаваемые вопросы