Модель Блэка Скоулза

Что такое Модель Блэка Скоулза?

Модель Блэка-Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), представляет собой математическую модель для ценообразования опционного контракта. В частности, модель оценивает изменение финансовых инструментов во времени. Предполагается, что эти инструменты (например, акции или фьючерсы) будут иметь логнормальное распределение цен. Используя это предположение и принимая во внимание другие важные переменные, уравнение выводит цену опциона колл.

Ключевые моменты

  • Модель Блэка-Шоулза Мертона (BSM) – это дифференциальное уравнение, используемое для определения цен опционов.
  • Модель получила Нобелевскую премию по экономике.
  • Стандартная модель BSM используется только для определения цены европейских опционов и не учитывает возможность исполнения опционов в США до истечения срока их действия.

Основы модели Блэка-Шоулза

Модель предполагает, что цена активно торгуемых активов следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. Применительно к опциону на акции модель учитывает изменение постоянной цены акции, временную стоимость денег, цену исполнения опциона и время истечения срока действия опциона.

Эта модель, также известная как Блэк-Шоулз-Мертон, была первой широко используемой моделью ценообразования опционов. Он используется для расчета теоретической стоимости опционов с использованием текущих цен на акции, ожидаемых дивидендов, цены исполнения опциона, ожидаемых процентных ставок, времени до истечения срока и ожидаемой волатильности. 

Формула, разработанная тремя экономистами – Фишером Блэком, Майроном Скоулзом и Робертом Мертоном, – это, пожалуй, самая известная в мире модель ценообразования опционов.Первоначальное уравнение было введено в работу Блэка и Скоулза 1973 года «Стоимость опционов и корпоративных обязательств», опубликованную в Журнале политической экономии .1  Блэк скончался за два года до того, как Шоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике 1997 г. за их работу по поиску нового метода определения стоимости деривативов (Нобелевская премия не вручается посмертно; однако Нобелевский комитет признал роль Блэка). в модели Блэка-Шоулза). 2

Модель Блэка-Шоулза делает определенные предположения:

  • Опцион является европейским и может быть исполнен только по истечении срока.
  • В течение срока действия опциона дивиденды не выплачиваются.
  • Рынки эффективны (т. Е. Движения рынка невозможно предсказать).
  • При покупке опциона транзакционные издержки отсутствуют.
  • Безрисковая ставка и волатильность базового актива известны и постоянны.
  • Доходность базового актива обычно распределяется.

Хотя исходная модель Блэка-Шоулза не учитывала эффекты дивидендов, выплачиваемых в течение срока действия опциона, модель часто адаптируется для учета дивидендов путем определения   стоимости базовых акций на дату экс-дивидендов .

Формула Блэка Скоулза

Математика, используемая в формуле, сложна и может напугать. К счастью, вам не нужно знать или даже понимать математику, чтобы использовать моделирование Блэка-Шоулза в ваших собственных стратегиях. У трейдеров опционов есть доступ к различным онлайн-калькуляторам опционов, и многие современные торговые платформы могут похвастаться надежными инструментами анализа опционов, включая индикаторы и электронные таблицы, которые выполняют вычисления и выводят значения цен опционов.

Формула колл-опциона Блэка-Шоулза рассчитывается путем умножения цены акции на кумулятивную стандартную функцию нормального распределения вероятностей. После этого чистая приведенная стоимость (ЧПС) страйковой цены, умноженная на кумулятивное стандартное нормальное распределение, вычитается из результирующего значения предыдущего расчета.

В математической записи:

Cзнак равноSтN(d1)-Kе-ртN(d2)жчере:d1знак равнолпSтK+(р+σv22) тσs тпдd2знак равноd1-σs тжчере:Cзнак равноСллортяопртясй  Sзнак равноСутгент ытоск (ог отчет упдеглуяпг) ргясеK=Strike pricer=Risk-free interest ratet=Time to maturityN=A normal distribution\begin{aligned} &C = S_t N(d _1) – K e ^{ -rt} N(d _2)\\ &\textbf{where:}\\ &d_1 = \frac{ln\frac{S_t}{K} + (r+ \frac{\sigma ^{2} _v}{2}) \ t}{\sigma_s \ \sqrt{t}}\\ &\text{and}\\ &d_2 = d _1 – \sigma_s \ \sqrt{t}\\ &\textbf{where:}\\ &C = \text{Call option price}\\ &S = \text{Current stock (or other underlying) price}\\ &K = \text{Strike price}\\ &r = \text{Risk-free interest rate}\\ &t = \text{Time to maturity}\\ &N = \text{A normal distribution}\\ \end{aligned}​C=St​N(d1​)−Ke−rtN(d2​)where:d1​=σs​ t
-10,-9.5,-14c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54c44.2,-33.3,65.8,
-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,
35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429c69,-144,104.5,-217.7,106.5,
-221c5.3,-9.3,12,-14,20,-14H400000v40H845.2724s-225.272,467,-225.272,467
s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422
s-65,47,-65,47z M834 80H400000v40H845z”>

Что вам говорит модель Блэка Скоулза?

Модель Блэка-Шоулза – одна из важнейших концепций современной финансовой теории. Он был разработан в 1973 году Фишером Блэком, Робертом Мертоном и Майроном Скоулзом и широко используется до сих пор. Это считается одним из лучших способов определения справедливой цены опционов. Модель Блэка-Шоулза требует пяти входных переменных: цена исполнения опциона, текущая цена акции, время до истечения срока, безрисковая ставка и волатильность.

Модель предполагает, что цены на акции подчиняются логнормальному распределению, поскольку цены на активы не могут быть отрицательными (они ограничены нулем). Это также известно как   распределение Гаусса . Часто наблюдается значительная асимметрия цен на активы и некоторая степень эксцесса (толстые хвосты). Это означает, что нисходящие движения с высоким риском часто происходят на рынке чаще, чем предсказывает нормальное распределение.

Таким образом, допущение логнормальных цен базовых активов должно показывать, что подразумеваемая волатильность одинакова для каждой страйковой цены в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако после рыночного краха 1987 года подразумеваемая волатильность для опционов «при деньгах» была ниже, чем волатильность опционов с более низкой или высокой доходностью. Причина этого явления заключается в том, что рынок оценивает цены с большей вероятностью, что высокая волатильность движется вниз на рынках.

Это привело к наличию перекоса волатильности. Когда подразумеваемая волатильность для опционов с одинаковой  датой истечения срока  отображается на графике, можно увидеть улыбку или форму перекоса. Таким образом, модель Блэка-Шоулза неэффективна для расчета подразумеваемой волатильности.

Ограничения модели Блэка-Шоулза

Как указывалось ранее, модель Блэка-Шоулза используется только для определения цены европейских опционов и не учитывает возможность исполнения опционов в США до истечения срока их действия. Более того, модель предполагает, что дивиденды и безрисковые ставки постоянны, но в действительности это может быть неверно. Модель также предполагает постоянную летучесть останки над жизнью опциона, что это не так , потому что волатильность колеблется в зависимости от уровня спроса и предложения.

Более того, модель предполагает отсутствие транзакционных издержек или налогов; что безрисковая процентная ставка постоянна для всех сроков погашения; что короткие продажи ценных бумаг с использованием доходов разрешены; и что нет никаких возможностей безрискового арбитража. Эти предположения могут привести к тому, что цены будут отклоняться от реального мира, в котором присутствуют эти факторы.