Что такое центральная предельная теорема (ЦПТ)?

Что такое центральная предельная теорема (ЦПТ)?

При изучении теории вероятностей центральная предельная теорема (CLT) утверждает, что распределение выборки приближается к нормальному распределению (также известному как «колоколообразная кривая») по мере увеличения размера выборки, предполагая, что все выборки идентичны по размеру, и независимо от формы распределения населения.

Другими словами, CLT – это статистическая теория, утверждающая, что при достаточно большом размере выборки из совокупности с конечным уровнем дисперсии среднее значение всех выборок из одной и той же совокупности будет приблизительно равно среднему значению для генеральной совокупности. Кроме того, все выборки будут следовать приблизительной модели нормального распределения , при этом все дисперсии будут примерно равны дисперсии генеральной совокупности, деленной на размер каждой выборки.

Ключевые моменты

  • Центральная предельная теорема (CLT) утверждает, что распределение выборочных средних приближается к нормальному распределению по мере увеличения размера выборки.
  • Объем выборки, равный или превышающий 30, считается достаточным для выполнения CLT.
  • Ключевым аспектом CLT является то, что среднее значение выборки и стандартного отклонения будет равно среднему значению генеральной совокупности и стандартному отклонению.
  • Достаточно большой размер выборки может точно предсказать характеристики совокупности.

Хотя эта концепция была впервые разработана Абрахамом де Муавром в 1733 году, официально она не была названа до 1930 года, когда известный венгерский математик Джордж Поля официально назвал ее Центральной предельной теоремой.12

Понимание центральной предельной теоремы (CLT)

Согласно центральной предельной теореме, среднее значение выборки данных будет ближе к среднему значению всей рассматриваемой генеральной совокупности по мере увеличения размера выборки, несмотря на фактическое распределение данных. Другими словами, данные точны независимо от того, является ли распределение нормальным или отклоняющимся.

Как правило, объем выборки, равный или превышающий 30, считается достаточным для выполнения CLT, а это означает, что распределение выборочных средних достаточно нормально. Таким образом, чем больше выборок делается, тем больше результаты на графике принимают форму нормального распределения.

Центральная предельная теорема демонстрирует феномен, когда среднее значение выборки и стандартное отклонение равняется среднему значению совокупности и стандартному отклонению, что чрезвычайно полезно для точного прогнозирования характеристик совокупностей.

Центральная предельная теорема в финансах

CLT полезен при изучении доходности отдельных акций или более широких индексов, поскольку анализ прост из-за относительной простоты создания необходимых финансовых данных. Следовательно, инвесторы всех типов полагаются на CLT для анализа доходности акций, построения портфелей и управления рисками.

Скажем, например, инвестор хочет проанализировать общую доходность фондового индекса, который включает 1000 акций. В этом сценарии этот инвестор может просто изучить случайную выборку акций, чтобы рассчитать предполагаемую доходность общего индекса. Для выполнения центральной предельной теоремы необходимо выполнить выборку не менее 30 случайно выбранных акций из различных секторов. Кроме того, ранее выбранные акции необходимо поменять местами на другие названия, чтобы избежать предвзятости.