Сложный процент
Что такое Сложный процент?
Сложные проценты (или сложные проценты) — это проценты по кредиту или депозиту, рассчитываемые как на основе первоначальной основной суммы, так и накопленных процентов за предыдущие периоды. Считается, что сложный процент возник в Италии 17 века, сложный процент можно рассматривать как «процент на процент», и он заставляет сумму расти быстрее, чем простой процент , который рассчитывается только на основную сумму.
Ключевые моменты
- Сложные проценты (или сложные проценты) — это проценты, начисляемые на первоначальную основную сумму, которая также включает все накопленные проценты за предыдущие периоды по депозиту или ссуде.
- Сложные проценты рассчитываются путем умножения первоначальной основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка, повышенная на количество составных периодов минус один.
- Проценты могут быть увеличены по любому заданному графику периодичности, от непрерывного до ежедневного или ежегодного.
- При расчете сложных процентов количество периодов начисления сложных процентов имеет большое значение.
Скорость , при которой соединение начисления процентов зависит от частоты компаундирования, такой , что чем выше количество компаундирования периодов, тем больше сложные проценты. Таким образом, сумма сложных процентов, начисленных на 100 долларов США с начислением 10% годовых, будет ниже, чем сумма сложных процентов на 100 долларов США с начислением 5% годовых в течение того же периода времени. Поскольку эффект процентной ставки может приносить все более положительную прибыль на основе начальной основной суммы, ее иногда называют «чудом сложных процентов».
Расчет сложных процентов
Сложные проценты рассчитываются путем умножения первоначальной основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка, повышенная на количество составных периодов минус один. Затем из полученной стоимости вычитается общая первоначальная сумма ссуды.
Формула расчета сложных процентов:
Сложные проценты = Общая сумма основной суммы долга и процентов в будущем (или будущая стоимость) за вычетом суммы основного долга в настоящее время (или приведенной стоимости)
= [P (1 + i ) n ] — P
= P [(1 + i ) n — 1]
(Где P = основная сумма, i = номинальная годовая процентная ставка в процентах, а n = количество периодов начисления сложных процентов.)
Возьмите трехлетний заем в размере 10 000 долларов США под 5% годовых. Какая будет сумма процентов? В этом случае это будет: 10 000 [(1 + 0,05) 3 — 1] = 10 000 [1,157625 — 1] = 1 576,25 доллара.
Рост сложных процентов
Используя приведенный выше пример, поскольку сложные проценты также учитывают накопленные проценты за предыдущие периоды, сумма процентов не будет одинаковой для всех трех лет, как это было бы с простыми процентами. Хотя общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение трехлетнего периода по этому займу, составляет 1 576,25 долларов США, проценты, подлежащие выплате в конце каждого года, показаны в таблице ниже.
Периоды накопления
При расчете сложных процентов количество периодов начисления сложных процентов имеет большое значение. Основное правило состоит в том, что чем больше количество периодов начисления сложных процентов, тем больше сумма сложных процентов.
Следующая таблица демонстрирует разницу, которую может составить количество периодов начисления сложных процентов для ссуды в размере 10 000 долларов США с годовой процентной ставкой 10% в течение 10-летнего периода.
Сложные проценты могут значительно повысить доходность инвестиций в долгосрочной перспективе. В то время как вклад в размере 100 000 долларов, который получает 5% простых процентов, принесет 50 000 долларов процентов в течение 10 лет, сложные проценты в размере 5% на 10 000 долларов составят 62 889,46 долларов за тот же период.
Расчет компаундирования в Excel
Если со времен уроков математики прошло некоторое время, не бойтесь: есть удобные инструменты, которые помогут сложить числа. Многие калькуляторы (как карманные, так и компьютерные) имеют функции экспоненты, которые можно использовать для этих целей. Если возникают более сложные сложные задачи, их можно выполнить с помощью Microsoft Excel тремя разными способами.
- Первый способ рассчитать сложные проценты — это умножить новый баланс каждого года на процентную ставку. Предположим, вы вкладываете 1000 долларов на сберегательный счет с годовой процентной ставкой 5% и хотите рассчитать остаток через пять лет. В Microsoft Excel введите «Год» в ячейку A1 и «Баланс» в ячейку B1. Введите годы от 0 до 5 в ячейки с A2 по A7. Сальдо за год 0 составляет 1000 долларов, поэтому вы должны ввести «1000» в ячейку B2. Затем введите «= B2 * 1,05» в ячейку B3. Затем введите «= B3 * 1.05» в ячейку B4 и продолжайте делать это, пока не дойдете до ячейки B7. В ячейке B7 вычисление будет «= B6 * 1,05». Наконец, вычисленное значение в ячейке B7 — 1276,28 доллара — это остаток на вашем сберегательном счете через пять лет. Чтобы найти значение сложных процентов, вычтите 1000 долларов из 1276,28 долларов; это дает вам значение 276,28 доллара.
- Второй способ расчета сложных процентов — использовать фиксированную формулу. Формула сложных процентов: ((P * (1 + i) ^ n) — P), где P — основная сумма, i — годовая процентная ставка, а n — количество периодов. Используя ту же информацию, что и выше, введите «Основное значение» в ячейку A1 и 1000 в ячейку B1. Затем введите «Процентная ставка» в ячейку A2 и «0,05» в ячейку B2. Введите «Составные периоды» в ячейку A3 и «5» в ячейку B3. Теперь вы можете рассчитать сложный процент в ячейке B4, введя «= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1», что даст вам 276,28 доллара.
- Третий способ расчета сложных процентов — создание макроса. Сначала запустите редактор Visual Basic, который находится на вкладке разработчика. Щелкните меню «Вставка» и выберите «Модуль». Затем введите «Function Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double» в первой строке. Во второй строке нажмите клавишу табуляции и введите «Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) — P». В третьей строке модуля введите «Завершить функцию». Вы создали макрос функции для расчета сложной процентной ставки. Продолжая работу с тем же листом Excel, приведенным выше, введите «Сложный процент» в ячейку A6 и введите «= Сложный_Процент (B1, B2, B3)». Это дает вам значение 276,28 доллара, что согласуется с первыми двумя значениями.
Использование других калькуляторов
Как упоминалось выше, в Интернете предлагается ряд бесплатных калькуляторов сложных процентов, и многие портативные калькуляторы также могут выполнять эти задачи.
- Бесплатный калькулятор сложных процентов, предлагаемый на сайте Financial-Calculators.com, прост в использовании и предлагает выбор частоты от дня до года. Он включает в себя возможность выбора непрерывного сложения, а также позволяет вводить фактические календарные даты начала и окончания. После ввода необходимых данных расчета результаты показывают заработанные проценты, будущую стоимость, годовую процентную доходность (APY), которая является мерой, включающей начисление сложных процентов и дневные проценты.
- Investor.gov , веб-сайт, управляемый Комиссией по ценным бумагам и биржам США (SEC), предлагает бесплатный онлайн-калькулятор сложных процентов. Калькулятор довольно прост, но он позволяет вводить ежемесячные дополнительные депозиты основному лицу, что полезно для расчета доходов, когда вносятся дополнительные ежемесячные сбережения.
- Бесплатный онлайн-калькулятор процентов с несколькими дополнительными функциями доступен на TheCalculatorSite.com. Этот калькулятор позволяет производить расчеты для различных валют, учитывать ежемесячные депозиты или снятия, а также автоматически рассчитывать ежемесячные депозиты или снятия с поправкой на инфляцию.
Частота смешивания
Проценты могут быть увеличены по любому заданному графику периодичности, от ежедневного до ежегодного. Существуют стандартные графики частоты начисления сложных процентов, которые обычно применяются к финансовым инструментам.
Обычно для денежного рынка — часто ежедневно. Для жилищных ипотечных ссуд, ссуд под залог недвижимости, ссуд для личного бизнеса или счетов по кредитным картам обычно применяется ежемесячный график начисления сложных процентов. Также могут быть разные временные рамки, в течение которых начисленные проценты фактически зачисляются на существующий баланс. Проценты по счету могут начисляться ежедневно, но только ежемесячно. Только тогда, когда проценты фактически зачисляются или добавляются к существующему балансу, они начинают приносить дополнительные проценты на счет.
Некоторые банки также предлагают так называемое непрерывное начисление сложных процентов, которое добавляет проценты к основной сумме в каждый возможный момент. С практической точки зрения, это не намного больше, чем ежедневное начисление сложных процентов, если вы не хотите вкладывать деньги и снимать их в тот же день.
Более частое начисление сложных процентов выгодно инвестору или кредитору. Для заемщика все наоборот.
Оценка временной стоимости денег
Понимание временной стоимости денег и экспоненциального роста, создаваемого сложным капиталом, важно для инвесторов, стремящихся оптимизировать свои доходы и распределение богатства.
Формула для получения будущей стоимости (FV) и текущей стоимости (PV) выглядит следующим образом:
FV = PV (1 + i) n и PV = FV / (1 + i) n
Например, будущая стоимость 10 000 долларов США составит 5% годовых в течение трех лет:
= 10 000 долларов США (1 + 0,05) 3
= 10 000 долл. США (1 157 625 долл. США)
= 11 576,25 долл. США
Приведенная стоимость 11 576,25 долларов США со скидкой 5% на три года:
= 11 576,25 долл. США / (1 + 0,05) 3
= 11 576,25 долл. США / 1 157 625 долл. США
= 10 000 долларов США
Обратное значение 1,157625, равное 0,8638376, в данном случае является коэффициентом дисконтирования.
Рассмотрение по правилу 72
Так называемое Правило 72 рассчитывает приблизительное время, в течение которого инвестиции удвоятся при заданной норме прибыли или процентах «i», и определяется выражением (72 / i). Его можно использовать только для годового начисления процентов.
Например, инвестиция с годовой доходностью 6% удвоится через 12 лет.
Таким образом, инвестиции с годовой доходностью 8% увеличатся вдвое за девять лет.
Совокупный годовой темп роста (CAGR)
Совокупный годовой темп роста (CAGR) используется для большинства финансовых приложений, которые требуют расчета единого темпа роста за период времени.
Допустим, ваш инвестиционный портфель вырос с 10 000 до 16 000 долларов за пять лет; что такое CAGR? По сути, это означает, что PV = — 10 000 долларов США, FV = 16 000 долларов США, nt = 5, поэтому переменная «i» должна быть вычислена. Используя финансовый калькулятор или Excel, можно показать, что i = 9,86%.
(Обратите внимание, что в соответствии с соглашением о движении денежных средств, ваши начальные инвестиции (PV) в размере 10 000 долларов США показаны с отрицательным знаком, поскольку они представляют собой отток средств. PV и FV обязательно должны иметь противоположные знаки, чтобы найти «i» в приведенном выше уравнение).
CAGR Реальные приложения
CAGR широко используется для расчета доходности за периоды времени для акций, паевых инвестиционных фондов и инвестиционных портфелей. CAGR также используется для определения того, превышал ли управляющий паевым инвестиционным фондом или управляющий портфелем рыночную норму прибыли в течение определенного периода времени. Если, например, рыночный индекс обеспечил совокупную доходность 10% за пятилетний период, но управляющий фондом получил только 9% годовой прибыли за тот же период, это означает, что он отстал от рынка.
CAGR также можно использовать для расчета ожидаемых темпов роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов времени, что полезно для таких целей, как накопление средств на пенсию. Рассмотрим следующие примеры:
Пример 1. Не склонный к риску инвестор доволен скромной годовой доходностью 3% по своему портфелю. Таким образом, ее нынешний портфель в 100 000 долларов через 20 лет вырастет до 180 611 долларов. Напротив, терпимый к риску инвестор, ожидающий годовой доходности 6% от своего портфеля, через 20 лет увидит, что 100 000 долларов вырастут до 320 714 долларов.
Пример 2: CAGR можно использовать для оценки того, сколько нужно убрать, чтобы сэкономить для конкретной цели. Пара, которая хотела бы сэкономить 50 000 долларов в течение 10 лет на первоначальный взнос за кондоминиум, должна будет экономить 4 165 долларов в год, если они предполагают, что годовая прибыль (CAGR) составит 4% от своих сбережений. Если они готовы пойти на дополнительный риск и рассчитывать на среднегодовой темп роста 5%, им нужно будет экономить 3 975 долларов в год.
Пример 3: CAGR также можно использовать для демонстрации достоинств инвестирования в более раннем, чем в более позднем возрасте. Если цель состоит в том, чтобы сэкономить 1 миллион долларов к выходу на пенсию в возрасте 65 лет, исходя из среднегодового роста в 6%, 25-летнему человеку для достижения этой цели потребуется откладывать 6 462 доллара в год. С другой стороны, 40-летнему человеку нужно будет сэкономить 18 227 долларов, что почти в три раза больше, чтобы достичь той же цели.
- Среднегодовые темпы роста также часто возникают в экономических данных. Вот пример: ВВП Китая на душу населения увеличился с 193 долларов в 1980 году до 6091 долларов в 2012 году. Каков годовой рост ВВП на душу населения за этот 32-летний период? Темп роста «i» в данном случае составляет впечатляющие 11,4%.
Плюсы и минусы компаундирования
В то время как магия компаундирования привела к апокрифической истории о том, что Альберт Эйнштейн назвал его восьмым чудом света или величайшим изобретением человека, компаундирование также может работать против потребителей, у которых есть ссуды с очень высокими процентными ставками, например, задолженность по кредитной карте. Остаток по кредитной карте в размере 20 000 долларов США с ежемесячной процентной ставкой 20% приведет к общей сумме сложных процентов в размере 4 388 долларов США за год или около 365 долларов США в месяц.
С положительной стороны, магия начисления сложных процентов может работать вам на пользу, когда дело касается ваших инвестиций, и может стать мощным фактором создания богатства. Экспоненциальный рост за счет сложных процентов также важен для смягчения факторов разрушения богатства, таких как рост стоимости жизни, инфляция и снижение покупательной способности.
Паевые инвестиционные фонды предлагают инвесторам один из самых простых способов воспользоваться преимуществами сложных процентов . Если вы решите реинвестировать дивиденды, полученные от взаимного фонда, вы приобретете больше акций фонда. Со временем накапливается больше сложных процентов, и цикл покупки большего количества акций будет продолжать способствовать росту стоимости инвестиций в фонд.
Рассмотрим инвестицию в паевой инвестиционный фонд, открытый с начальными 5000 долларов и ежегодным приростом в 2400 долларов. При средней годовой доходности 12% за 30 лет будущая стоимость фонда составляет 798 500 долларов. Сложный процент — это разница между денежными средствами, внесенными в инвестиции, и фактической будущей стоимостью инвестиций. В этом случае, если внести 77 000 долларов или всего 200 долларов в месяц в течение 30 лет, сложные проценты составят 721 500 долларов от будущего баланса. Конечно, доходы от сложных процентов подлежат налогообложению, если только деньги не находятся на счете, защищенном от налогов; обычно он облагается налогом по стандартной ставке, установленной для налоговой категории налогоплательщика.
Инвестиции со сложными процентами
Инвестор, который выбирает план реинвестирования в рамках брокерского счета, по сути, использует возможность начисления сложных процентов во все, что он инвестирует. Инвесторы также могут получить сложный процент при покупке облигации с нулевым купоном. Традиционные выпуски облигаций обеспечивают инвесторам периодические выплаты процентов на основе первоначальных условий выпуска облигаций, и, поскольку они выплачиваются инвестору в форме чека, проценты не складываются. Бескупонные облигации не отправляют инвесторам процентные чеки; вместо этого облигации этого типа приобретаются со скидкой к их первоначальной стоимости и со временем растут. Эмитенты бескупонных облигаций используют возможность начисления сложных процентов для увеличения стоимости облигации, чтобы она достигла своей полной цены к моменту погашения.
Компаундирование также может работать на вас при выплате кредита. Например, если вы будете выплачивать половину ипотечного платежа дважды в месяц вместо того, чтобы вносить полный платеж один раз в месяц, это сократит ваш период погашения и сэкономит вам значительную сумму процентов.
Кстати о займах…
Как узнать, есть ли проценты
Закон о правде в кредитовании (TILA) требует, чтобы кредиторы раскрывали условия кредита потенциальным заемщикам, включая общую сумму процентов в долларах, подлежащую выплате в течение срока действия кредита, и то, начисляются ли проценты простым или сложным образом.
Другой метод — сравнить процентную ставку по ссуде с ее годовой процентной ставкой (APR), которую TILA также требует от кредиторов. Годовая процентная ставка конвертирует финансовые расходы по вашему кредиту, которые включают все проценты и комиссии, в простую процентную ставку. Существенная разница между процентной ставкой и АТР означает один или оба из двух сценариев: Ваш кредит использует сложные проценты, или она включает в себя значительные сборы кредита в дополнение к процентам. Даже когда речь идет о ссуде одного и того же типа, диапазон годовых может сильно различаться между кредиторами в зависимости от комиссий финансового учреждения и других затрат.
Вы заметите, что процентная ставка, которую вы взимаете, также зависит от вашего кредита. Ссуды, предлагаемые тем, у кого есть отличная кредитоспособность, имеют значительно более низкие процентные ставки, чем те, которые взимаются с лиц с плохой кредитной историей .
Часто задаваемые вопросы
Каково простое определение сложных процентов?
Сложные проценты относятся к явлению, при котором проценты, связанные с банковским счетом, ссудой или инвестициями, со временем растут экспоненциально, а не линейно. Ключом к пониманию концепции является слово «составной». Предположим, вы инвестируете 100 долларов в бизнес, который ежегодно выплачивает вам 10% дивидендов. У вас есть выбор: вложить эти дивиденды в наличные или реинвестировать эти выплаты в дополнительные акции. Если вы выберете второй вариант, реинвестируя дивиденды и складывая их вместе с вашими первоначальными инвестициями в 100 долларов, то получаемая вами доходность со временем начнет расти.
Кому выгодны сложные проценты?
Проще говоря, сложные проценты приносят пользу инвесторам, но значение слова «инвесторы» может быть довольно широким. Банки, например, получают выгоду от сложных процентов, когда ссужают деньги и реинвестируют полученные проценты в выдачу дополнительных ссуд. Вкладчики также получают выгоду от сложных процентов, когда они получают проценты по своим банковским счетам, облигациям или другим инвестициям. Важно отметить, что, хотя термин «сложные проценты» включает в себя слово «проценты», эта концепция применяется за пределами ситуаций, в которых обычно используется слово «проценты», таких как банковские счета и ссуды.
Могут ли сложные проценты сделать вас богатым?
Да. Фактически, сложные проценты, возможно, являются самой мощной силой для создания богатства из когда-либо задуманных. Есть записи о купцах, кредиторах и различных бизнесменах, которые использовали сложные проценты, чтобы разбогатеть буквально на тысячи лет. В древнем городе Вавилон, например, более 4000 лет назад глиняные таблички использовались для обучения студентов математике сложных процентов. В наше время Уоррен Баффет стал одним из самых богатых людей в мире благодаря бизнес-стратегии, которая предусматривала усердное и терпеливое увеличение прибыли от его инвестиций в течение длительных периодов времени. Вполне вероятно, что в той или иной форме люди будут использовать сложные проценты для создания богатства в обозримом будущем.