Теория игр: за гранью основ
Используя теорию игр, можно разложить реальные сценарии для таких ситуаций, как ценовая конкуренция и выпуск продуктов (и многое другое), и спрогнозировать их результаты. Компании, которые используют (и придерживаются) этого устройства для определения равновесия по Нэшу, видят огромную выгоду в своих стратегиях составления бюджета. (См. Также: Основы теории игр.)
Чья это очередь?
В то время как в последовательные игры играют по очереди, в одновременные игры каждый игрок принимает решение одновременно. В одновременных играх мы больше не используем общий вводный метод обратной индукции. Сторонники теории игр часто сводят различные результаты в так называемую матрицу (см. Ниже).
Эта матрица называется нормальной формой. Выбор игрока 1 показан на левой вертикальной оси, а выбор игрока 2 показан на верхней горизонтальной оси. Выплаты для каждого игрока находятся на соответствующих пересечениях и отображаются следующим образом (первый игрок, второй игрок).
Равновесие Нэша
Равновесие Нэша — это результат, который, будучи достигнутым, означает, что ни один игрок не может увеличить выигрыш, изменив решения в одностороннем порядке. Его также можно рассматривать как «без сожалений» в том смысле, что после того, как решение принято, игрок не будет сожалеть о решениях с учетом последствий.
Равновесие по Нэшу в большинстве случаев достигается со временем. Однако, как только равновесие Нэша достигнуто, отклонения от него не будет. После того, как мы узнаем, как найти равновесие по Нэшу, посмотрим, как одностороннее движение повлияет на ситуацию. Есть ли в этом смысл? Так не должно быть, и именно поэтому равновесие по Нэшу описывается как «без сожалений».
Нахождение равновесия по Нэшу
Шаг первый: Определите лучший ответ игрока на действия второго игрока. Изучая варианты, которые могут максимизировать выплату игрока, мы должны посмотреть, как первый игрок должен реагировать на каждый из вариантов, которые есть у второго игрока. Легкий способ сделать это визуально — скрыть выбор второго игрока. Рассмотрим матрицу, изображенную в начале этой статьи, когда мы применяем этот метод.
У первого игрока есть два возможных варианта игры: «вверх» или «вниз». У второго игрока также есть два варианта игры: «влево» или «вправо». На этом этапе определения равновесия по Нэшу мы смотрим на реакцию на действия второго игрока. Если второй игрок выбирает игру «влево», мы можем играть «вверх» с выплатой 1 или играть «вниз» с выплатой 3. Поскольку 3 больше 1, мы выделим 3 жирным шрифтом, указывая на вариант игры. «здесь.
Если второй игрок выбирает игру «правильно», мы можем выбрать игру «вверх» для выигрыша 4 или сыграть «вниз» для плей-офф 3. Поскольку 4 больше 3, мы выделим 4 жирным шрифтом, чтобы указать вариант. чтобы подыграть здесь. Результаты, выделенные жирным шрифтом, показаны ниже в полной матрице.
Шаг второй: Определите лучший ответ второго игрока на его действия. Как мы делали ранее с выплатами первого игрока для второго игрока, мы скроем выплаты первого игрока при определении лучших ответов для второго игрока. (См. Также: Ведущие индикаторы поведенческих финансов.)
Как и в случае с первым игроком, у каждого игрока есть два варианта игры. Если игрок 1 выбирает игру «вверх», мы можем играть «влево» с выплатой 3 или «вправо» с выплатой 2. Поскольку 3 больше 2, мы выделим 3 жирным шрифтом, чтобы показать возможность здесь играют «налево». Если игрок 1 выбирает играть «вниз», мы можем играть «влево» с выплатой 2 или «вправо» с выплатой 1. Поскольку 2 больше 1, мы выделим 2 жирным шрифтом, указывая на вариант игры. «оставил» здесь. Результаты, выделенные жирным шрифтом, показаны ниже в полной матрице.
Шаг третий: определите, для каких результатов оба выигрыша выделены жирным шрифтом. Этот конкретный результат и есть равновесие по Нэшу. Теперь мы объединяем жирные варианты для обоих игроков в полную матрицу.
Ищите перекрестки, на которых оба выигрыша выделены жирным шрифтом. В этом случае мы обнаруживаем, что пересечение (Вниз, Влево) с выплатой (3, 2) соответствует нашим критериям. Это указывает на наше равновесие по Нэшу.
Этот метод нахождения равновесия по Нэшу хорошо подходит для нахождения равновесия в одновременных играх, поскольку мы смотрим на то, как игрок отреагирует независимо от того, как действует другой. Этот сценарий одновременной игры часто разыгрывается в таких компаниях, как авиакомпании. Ниже приведен пример, аналогичный приведенной выше игре, о том, как может измениться ценообразование авиакомпаний. Выплаты производятся в тысячах долларов. Помните, что это выплаты, а не цены. Метод, который мы применили ранее, уже применяется, чтобы показать, где возникает равновесие по Нэшу.
Глядя только на варианты выбора А1, мы видим, что если А2 предпочитает играть по низкой цене, мы выбираем между низкой ценой за 3000 и высокой ценой за 2000. Мы выбираем низкие, так как 3000> 2000. Мы делаем то же самое для А2, играющего по высокой цене, и видим, что мы играем по низкой, потому что 4000> 3500. И наоборот, глядя только на варианты выбора А2, мы можем видеть, что если А1 выбирает игру по низкой цене, мы выбираем между «низкой ценой» за 3000 и «высокой ценой» за 2000. Поскольку 3000> 2000, мы выбираем вариант с низкой ценой. Если A1 играет высокую цену, мы можем назначить низкую цену за 4000 или высокую цену за 3500. Поскольку 4000> 3500, мы предпочитаем играть здесь по низкой цене.
Равновесие Нэша заключается в том, что обе авиакомпании взимают низкую цену (отображается, когда выбор каждой стороны выделен). Если бы обе авиакомпании установили высокую цену, каждая из них была бы в более выгодном положении, чем при равновесии Нэша.
Так почему они не соглашаются на это? Во-первых, сговор незаконен. Во-вторых, если бы это произошло, одностороннее действие от имени одной авиакомпании по взиманию низкой цены было бы выгодным, в результате чего эта авиакомпания, в свою очередь, заработала бы больше денег. Эта логика также показывает, как достигается равновесие по Нэшу и почему нецелесообразно отклоняться от него после его достижения. (См. Также: Поведенческие финансы.)
Множественные равновесия Нэша
Как правило, в игре может быть более одного равновесия. Однако это обычно происходит в играх с более сложными элементами, чем два выбора двух игроков. В одновременных играх, которые повторяются во времени, одно из этих множественных равновесий достигается после некоторых проб и ошибок. Этот сценарий различий в выборе с течением времени до достижения равновесия наиболее часто разыгрывается в деловом мире, когда две фирмы определяют цены на взаимозаменяемые продукты, такие как авиабилеты или безалкогольные напитки.
Суть
С помощью этих передовых методов можно моделировать и решать больше реальных ситуаций. Обсуждаемые нами различные виды равновесий Нэша являются наиболее часто встречающимися решениями реальных смоделированных игр. Практические знания теории игр могут помочь вам сформировать стратегию, будь то игра в крестики-нолики или борьба за максимальную прибыль.