Модель Хестона

Что такое Модель Хестона?

Модель Хестона, названная в честь Стива Хестона, представляет собой тип модели стохастической волатильности, используемый финансовыми профессионалами для определения цены европейских опционов .

Ключевые моменты

  • Модель Хестона, названная в честь Стива Хестона, представляет собой тип модели стохастической волатильности, используемый финансовыми профессионалами для определения цены европейских опционов.
  • Модель Хестона делает предположение о произвольности волатильности, что является ключевым фактором, определяющим модели стохастической волатильности, в отличие от модели Блэка-Шоулза, в которой волатильность остается постоянной.
  • Модель Хестона – это тип модели улыбки волатильности, которая представляет собой графическое представление нескольких опционов с идентичными датами истечения, которые показывают возрастающую волатильность по мере того, как опционы становятся все больше ITM или OTM.

Понимание модели Хестона

Модель Хестона, разработанная доцентом профессора финансов Стивеном Хестоном в 1993 году, представляет собой модель ценообразования опционов, которая может использоваться для определения цены опционов на различные ценные бумаги. Она сопоставима с более популярной моделью ценообразования опционов Блэка-Шоулза .

В целом, модели ценообразования опционов используются продвинутыми инвесторами для оценки и измерения цены конкретного опциона, торгуя с базовыми ценными бумагами на финансовом рынке. Опционы, как и их базовая ценная бумага, будут иметь цены, которые меняются в течение торгового дня. Модели ценообразования опционов стремятся анализировать и интегрировать переменные, которые вызывают колебания цен опционов, чтобы определить лучшую цену опциона для инвестиций.

В качестве модели стохастической волатильности модель Хестона использует статистические методы для расчета и прогнозирования цены опционов с предположением, что волатильность является произвольной. Предположение, что волатильность является произвольной, а не постоянной, является ключевым фактором, делающим модели стохастической волатильности уникальными. Другие типы моделей стохастической волатильности включают модель SABR, модель Чена и модель GARCH .

Модель Хестона имеет характеристики, которые отличают ее от других моделей стохастической волатильности, а именно:

  • Он учитывает возможную корреляцию между ценой акции и ее волатильностью.
  • Он передает волатильность как возврат к среднему значению.
  • Он дает решение в закрытой форме, что означает, что ответ выводится на основе принятого набора математических операций.
  • Это не требует, чтобы цена акций следовала логнормальному распределению вероятностей.

Модель Хестона также является разновидностью модели  непостоянной улыбки . «Улыбка» относится к волатильности улыбки, графическое представление нескольких вариантов с одинаковыми сроками годности , которые указывают на рост волатильности как варианты становятся все более в деньгах (ITM) или вне-деньги (ОТМ). Название модели улыбки происходит от вогнутой формы графика, которая напоминает улыбку.

Методология модели Хестона

Модель Хестона – это закрытое решение для вариантов ценообразования, призванное преодолеть некоторые недостатки, представленные в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Модель Хестона – инструмент для опытных инвесторов.

Расчет выглядит следующим образом:

dSтзнак равнорSтdт+VтStdW1tdVt=k(θ−Vt)dt+σVtdW2twhere:St=asset price at time tr=risk-free interest rate – theoretical rate on anasset carrying no riskVt=volatility (standard deviation) of the asset priceσ=volatility of the Vtθ=long-term price variancek=rate of reversion to θdt=indefinitely small positive time incrementW1t=Brownian motion of the asset priceW2t=Brownian motion of the asset’s price variance\begin{aligned} &dS_t = rS_tdt + \sqrt{ V_t } S_tdW_{1t} \\ &dV_t = k ( \theta – V_t ) dt+ \sigma \sqrt{ V_t } dW_{2t} \\ &\textbf{where:} \\ &S_t = \text{asset price at time } t \\ &r = \text{risk-free interest rate — theoretical rate on an} \\ &\text{asset carrying no risk} \\ &\sqrt{ V_t } = \text{volatility (standard deviation) of the asset price} \\ &\sigma = \text{volatility of the } \sqrt{ V_t } \\ &\theta = \text{long-term price variance} \\ &k = \text{rate of reversion to } \theta \\ &dt = \text{indefinitely small positive time increment} \\ &W_{1t} = \text{Brownian motion of the asset price} \\ &W_{2t} = \text{Brownian motion of the asset’s price variance} \\ \end{aligned}​dSt​=rSt​dt+Vt​
158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11H40000v40H1012.3s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,
175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71
c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,
-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26
s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z M1001 80H40000v40H1012z”>
158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11H40000v40H1012.3s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,
175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71
c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,
-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26
s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z M1001 80H40000v40H1012z”>
158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11H40000v40H1012.3s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,
175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71
c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,
-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26
s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z M1001 80H40000v40H1012z”>

Heston Model Versus Black-Scholes

The Black-Scholes model for option pricing was introduced in 1970 and served as one of the first models for helping investors derive a price associated with an option on a security. In general it helped to promote option investing as it created a model for analyzing the price of options on various securities.

Both the Black-Scholes and Heston Model are based on underlying calculations that can be coded and programmed through advanced Excel or other quantitative systems. The Black-Scholes model is calculated from the following:

Black-Scholes Formula (See also:
Black-Scholes Model)
The Black-Scholes call option formula is calculated by multiplying the stock price by the cumulative standard normal probability distribution function. Thereafter, the net present value (NPV) of the strike price multiplied by the cumulative standard normal distribution is subtracted from the resulting value of the previous calculation. In mathematical notation, C = S * N(d1) – Ke^(-r * T) * N(d2). Conversely, the value of a put option could be calculated using the formula: P = Ke^(-r * T) * N(-d2) – S * N(-d1). In both formulas, S is the stock price, K is the strike price, r is the risk-free interest rate, and T is the time to maturity. The formula for d1 is: (ln(S/K) + (r + (Annualized Volatility)^2/2) * T)/(Annualized Volatility * (T^(0.5))). The formula for d2 is: d1 – (Annualized Volatility) * (T^(0.5)).

The Heston Model is noteworthy because it seeks to provide for one of the main limitations of the Black-Scholes model which holds volatility constant. The use of stochastic variables in the Heston Model provides for the notion that volatility is not constant but arbitrary.

Both the basic Black-Scholes model and the Heston Model still only provide option pricing estimates for a European option, which is an option that can only be exercised on its expiration date. Various research and models have been studied for pricing American options through both Black-Scholes and the Heston Model. These variations provide estimates for options that can be exercised on any date leading up to the expiration date, as is the case for American options.