Использование общих методов распределения вероятности запасов

Распределение вероятностей рисования

Практически независимо от вашего взгляда на предсказуемость или эффективность рынков вы, вероятно, согласитесь с тем, что для большинства активов гарантированная доходность является неопределенной или рискованной. Если мы проигнорируем математику, лежащую в основе распределения вероятностей, мы увидим, что это картинки, которые описывают конкретный взгляд на неопределенность. Распределение вероятности — это статистический расчет, который описывает вероятность того, что данная переменная окажется между или внутри определенного диапазона на графике.

Неопределенность относится к случайности. Это отличается от отсутствия предсказуемости или неэффективности рынка. Согласно новым исследованиям, финансовые рынки являются неопределенными и предсказуемыми. Кроме того, рынки могут быть эффективными, но также и неопределенными.

В финансах мы используем распределения вероятностей, чтобы рисовать картинки, которые иллюстрируют наш взгляд на чувствительность доходности актива, когда мы думаем, что доходность актива можно рассматривать как случайную величину. В этой статье мы рассмотрим несколько наиболее популярных распределений вероятностей и покажем вам, как их вычислить.

Распределения можно разделить на дискретные или непрерывные, а также по тому, является ли это функцией плотности вероятности (PDF) или кумулятивным распределением.

Дискретные и непрерывные распределения

Дискретный относится к случайной величине, взятой из конечного набора возможных результатов. Например, шестигранный кубик имеет шесть дискретных исходов. Непрерывное распределение относится к случайной величине, взятой из бесконечного множества. Примеры непрерывных случайных величин включают скорость, расстояние и доходность некоторых активов. Дискретная случайная величина обычно изображается точками или тире, а непрерывная переменная изображается сплошной линией. На рисунке ниже показаны дискретные и непрерывные распределения для нормального распределения со средним (ожидаемым значением) 50 и стандартным отклонением 10:

Распределение представляет собой попытку нанести на карту неопределенность. В этом случае наиболее вероятен результат 50, но он произойдет только в 4% случаев; результат 40 на одно стандартное отклонение ниже среднего, и это будет происходить чуть менее 2,5% случаев.

Плотность вероятности и кумулятивное распределение

Другое различие заключается между функцией плотности вероятности (PDF) и кумулятивной функцией распределения. PDF — это вероятность того, что наша случайная переменная достигнет определенного значения (или, в случае непрерывной переменной, попадет в интервал). Мы показываем это, указывая вероятность того, что случайная величина X  будет равна фактическому значению x:

Кумулятивное распределение — это вероятность того, что случайная величина X  будет меньше или равна фактическому значению x:

п
Взаимодействие с другими людьмиP[x<=X]Взаимодействие с другими людьми

или, например, если ваш рост является случайной величиной с ожидаемым значением 5 футов 10 дюймов (средний рост ваших родителей), тогда вопрос PDF: «Какова вероятность того, что вы достигнете роста 5 футов 4 дюйма»? » Соответствующий вопрос кумулятивной функции распределения: «Какова вероятность того, что вы будете меньше 5’4»? »

На рисунке выше показаны два нормальных распределения. Теперь вы можете видеть, что это графики функции плотности вероятности (PDF). Если мы заново построим то же самое распределение в виде кумулятивного распределения, мы получим следующее:

Кумулятивное распределение должно в конечном итоге достичь 1,0 или 100% по оси ординат. Если мы поднимем планку достаточно высоко, то в какой-то момент практически все результаты попадут под эту планку (можно сказать, что распределение обычно асимптотично до 1,0).

Финансы, социальная наука, не так чисты, как физические науки. У гравитации, например, есть изящная формула, на которую мы можем полагаться снова и снова. С другой стороны, доходность финансовых активов не может воспроизводиться так последовательно. Ошеломляющая сумма денег была потеряна за долгие годы из-за умных людей, которые перепутали точные распределения (т. Е. Как если бы они были получены из физических наук) с беспорядочными и ненадежными приближениями, которые пытаются изобразить финансовую отдачу. В финансах вероятностные распределения — это не более чем грубые графические представления.

Равномерное распределение

Самым простым и популярным распределением является равномерное распределение, при котором все исходы имеют равные шансы наступления. Шестигранная матрица имеет равномерное распределение. Каждый исход имеет вероятность около 16,67% (1/6). Наш график ниже показывает сплошную линию (чтобы вы могли лучше видеть), но имейте в виду, что это дискретное распределение — вы не можете выбросить 2,5 или 2,11:

Теперь бросьте два кубика вместе, как показано на рисунке ниже, и распределение больше не будет равномерным. Он достигает семи, что дает шанс 16,67%. В этом случае все остальные исходы менее вероятны:

Теперь бросьте три кубика вместе, как показано на рисунке ниже. Мы начинаем видеть результаты самой удивительной теоремы: центральной предельной теоремы. Центральная предельная теорема смело обещает, что сумма или среднее значение ряда независимых переменных будет иметь тенденцию к нормальному распределению, независимо от их собственного распределения. Наши кубики индивидуально однородны, но объединяют их, и — когда мы добавляем больше кубиков — почти волшебным образом их сумма будет стремиться к знакомому нормальному распределению.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение отражает ряд «или / или» испытаний, таких как серии бросков монеты. Это так называемые испытания Бернулли — они относятся к событиям, имеющим только два исхода, но вам не нужны равные шансы (50/50). Биномиальное распределение ниже представляет собой серию из 10 подбрасываний монеты, при которой вероятность выпадения орла составляет 50% (p-0,5). На рисунке ниже видно, что вероятность перевернуть ровно пять решек и пять решек (порядок не имеет значения) составляет всего 25%:

Если биномиальное распределение кажется вам нормальным, вы правы. По мере увеличения числа испытаний биномиальное распределение стремится к нормальному распределению.

Логнормальное распределение

Распределение логарифмически очень важно в области финансов, потому что многие из наиболее популярных моделей предполагают, что цены на акции распределены логнормально. Возврат активов легко спутать с уровнями цен.

Доходность активов часто считается нормальной — акции могут вырасти на 10% или упасть на 10%. Уровни цен часто рассматриваются как логнормальные: акция стоимостью 10 долларов может вырасти до 30 долларов, но не может опуститься до -10 долларов. Логнормальное распределение не равно нулю и смещено вправо (опять же, акция не может упасть ниже нуля, но у нее нет теоретического предела роста):

Пуассон

Распределение Пуассона используется для описания вероятности определенного события (например, ежедневная потеря портфеля ниже 5%), происходящего в течение определенного интервала времени. Итак, в приведенном ниже примере мы предполагаем, что некоторый операционный процесс имеет коэффициент ошибок 3%. Мы также предполагаем 100 случайных испытаний; Распределение Пуассона описывает вероятность получения определенного количества ошибок в течение некоторого периода времени, например, одного дня.

Студенческая Т

Распределение Стьюдента также очень популярно, потому что у него немного более «толстый хвост», чем у нормального распределения. T студента обычно используется, когда размер нашей выборки невелик (т.е. менее 30). В финансах левый хвост представляет убытки. Поэтому, если размер выборки невелик, мы осмеливаемся недооценивать шансы на большой проигрыш. Более толстый хвост у студенческой буквы «Т» поможет нам здесь. Даже в этом случае бывает, что жировой хвост этого распределения часто бывает недостаточно жирным. Финансовая прибыль имеет тенденцию демонстрировать, в редких случаях катастрофы, действительно большие потери (т.е. более толстые, чем предсказывается распределением). При этом были потеряны большие суммы денег.

Бета-распространение

Наконец, бета-распределение (не путать с параметром бета в модели ценообразования капитальных активов ) популярно среди моделей, которые оценивают коэффициенты возмещения по портфелям облигаций. Бета-версия — это полезный проигрыватель дистрибутивов. Как и в обычном режиме, для него нужны только два параметра (альфа и бета), но их можно комбинировать для обеспечения замечательной гибкости. Ниже показаны четыре возможных бета-распределения:

Суть

Как и многие другие туфли в нашем статистическом обувном шкафу, мы пытаемся выбрать ту, которая лучше всего подходит для данного случая, но на самом деле мы не знаем, какая погода готовит нам. Мы можем выбрать нормальное распределение, а затем обнаружить, что оно занижает потери в левом хвосте; поэтому мы переключаемся на асимметричное распределение только для того, чтобы обнаружить, что в следующий период данные выглядят более «нормальными». Элегантная математика внизу может заставить вас думать, что эти распределения раскрывают более глубокую истину, но более вероятно, что это всего лишь человеческие артефакты. Например, все рассмотренные нами распределения довольно плавные, но доходность некоторых активов скачкообразна.

Нормальное распределение вездесуще и элегантно, и для него требуются только два параметра (среднее значение и распределение). Многие другие распределения сходятся к нормальному (например, биномиальное и пуассоновское). Однако многие ситуации, такие как доходность хедж-фондов, кредитные портфели и случаи серьезных убытков, не заслуживают нормального распределения.