Совместная вероятность: Определение, формула и пример

Что такое совместная вероятность?

Термин «совместная вероятность» относится к статистической мере, которая рассчитывает вероятность того, что два события произойдут вместе и в один и тот же момент времени. Другими словами, она представляет собой вероятность того, что событие Y произойдет в то же время, что и событие X. Для того чтобы совместная вероятность работала, оба события должны быть независимы друг от друга, то есть они не должны быть обусловлены или зависеть друг от друга.

Формула и расчет совместной вероятности

Формула совместной вероятности может иметь несколько различных форм. Одной из распространенных формул для расчета вероятности пересечения событий является:
P(X ⋂ Y),
где X и Y представляют собой два различных события, которые пересекаются. P(X и Y) или P(XY) представляет собой совместную вероятность X и Y.

О чем говорит совместная вероятность?

Вероятность — это область, тесно связанная со статистикой, в которой рассматривается вероятность наступления какого-либо события или явления. Количественно она выражается числом от 0 до 1, где 0 означает невозможность наступления события, а 1 — его определенный исход.
Совместная вероятность измеряет два события, которые происходят в одно и то же время. Она может применяться только в ситуациях, когда одновременно может произойти более одного наблюдения. Например, если вы хотите определить совместную вероятность того, что вы выберете из колоды красную и 6-ю карту, вычислите P(6 ∩ красная). Это можно сделать путем перемножения индивидуальных вероятностей выбора 6 и красной карты, учитывая, что эти события независимы.

Совместная вероятность против условной вероятности

Важно не путать совместную вероятность с условной вероятностью, которая означает вероятность того, что одно событие произойдет при условии, что другое событие уже произошло. Формула условной вероятности — P(X | Y) — представляет собой вероятность того, что X произойдет с учетом Y.
Совместная вероятность учитывает только вероятность того, что оба события произойдут вместе, в то время как условная вероятность учитывает зависимость одного события от другого. Можно рассчитать совместную вероятность с помощью условной вероятности, умножив условную вероятность X при Y на вероятность Y.

Пример совместной вероятности

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять совместную вероятность. Предположим, у нас есть мешок, содержащий 5 красных и 3 синих шарика. Мы случайным образом выбираем два шарика из мешочка без замены. Мы хотим найти совместную вероятность того, что в первом случае будет выбран красный шарик, а во втором — синий.
Чтобы вычислить совместную вероятность, сначала определим вероятность выбора красного шарика при первом розыгрыше. Поскольку из 8 шариков есть 5 красных, вероятность равна 5/8.
Далее мы вычисляем вероятность выбора синего мрамора во втором тираже, учитывая, что в первом тираже был выбран красный мрамор. После удаления одного красного мрамора в мешке осталось 4 красных и 3 синих мрамора. Поэтому вероятность того, что будет выбран синий мрамор, равна 3/7.
Чтобы найти совместную вероятность, мы перемножаем вероятности каждого события:
P(красный в первом розыгрыше и синий во втором) = (5/8) * (3/7) = 15/56.
Таким образом, совместная вероятность выбора красного мрамора при первом розыгрыше и синего мрамора при втором розыгрыше равна 15/56.

Итог

Совместная вероятность — это ценное понятие в статистике, которое позволяет рассчитать вероятность того, что два события произойдут вместе. Она особенно полезна при анализе независимых событий, которые происходят одновременно. Понимая совместную вероятность, мы можем принимать более обоснованные решения и делать прогнозы, основываясь на вероятности того, что несколько событий произойдут вместе.
Примечание: Содержание этой статьи основано на оригинальной статье Investopedia «Joint Probability: Определение, формула и пример» Уилла Кентона, опубликованной 18 октября 2021 года.

Вопросы и ответы

В чем разница между совместной и условной вероятностью?

Совместная вероятность измеряет вероятность того, что два события произойдут вместе, в то время как условная вероятность рассчитывает вероятность того, что одно событие произойдет при условии, что другое событие уже произошло. Совместная вероятность учитывает независимость событий, в то время как условная вероятность учитывает зависимость между событиями.

Существуют ли какие-либо ограничения на использование совместной вероятности?

Совместная вероятность может применяться только в том случае, если рассматриваемые события независимы друг от друга. Если события зависимы или обусловлены, то целесообразнее использовать условную вероятность.

Как можно визуализировать совместную вероятность?

Совместные вероятности можно визуализировать с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна состоит из пересекающихся кругов, представляющих события, а область пересечения указывает на совместную вероятность того, что события произойдут вместе.

Можно ли рассчитать совместную вероятность для более чем двух событий?

Да, совместная вероятность может быть рассчитана для любого количества событий. Формула остается прежней: перемножаются вероятности всех событий, которые происходят вместе.

Применима ли совместная вероятность к реальным сценариям?

Да, совместная вероятность широко используется в различных областях, включая финансы, экономику, анализ рисков и социальные науки. Она помогает понять вероятность одновременного наступления нескольких событий и принимать обоснованные решения на основе этих вероятностей.

Можно ли использовать совместную вероятность в инвестиционном анализе?

Да, совместная вероятность может быть полезна в инвестиционном анализе. Например, ее можно использовать для оценки вероятности коррелированного движения двух акций или для оценки вероятности одновременного влияния нескольких экономических факторов на доходность инвестиций. Понимание совместной вероятности позволяет инвесторам принимать более обоснованные решения и эффективнее управлять своими портфелями.

Имеет ли совместная вероятность значение для статистического моделирования?

Да, совместная вероятность играет важную роль в статистическом моделировании. Она используется в различных статистических методах, таких как регрессионный анализ, байесовский вывод и многомерный анализ. Совместная вероятность помогает понять взаимосвязь и взаимодействие между несколькими переменными, что позволяет разрабатывать надежные статистические модели.