Продолжительность Маколея и модифицированная продолжительность

Дюрация Маколея и модифицированная дюрация в основном используются для расчета дюрации облигаций. Дюрация Маколея рассчитывает средневзвешенное время, в течение которого держатель облигации получит денежные потоки по облигации. И наоборот, модифицированная дюрация измеряет чувствительность облигации к цене при изменении доходности к погашению.

Продолжительность Маколея

Дюрация Маколея рассчитывается путем умножения периода времени на периодическую купонную выплату и деления полученного значения на 1 плюс периодическая доходность, увеличенная до срока до погашения. Затем значение рассчитывается для каждого периода и складывается. Затем полученное значение добавляется к общему количеству периодов, умноженному на  номинальную стоимость, деленному на 1, плюс периодическая доходность, увеличенная до общего количества периодов. Затем стоимость делится на текущую цену облигации.

Цена облигации рассчитывается путем умножения денежного потока на 1, минус 1, деленного на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная на количество периодов, деленное на требуемую доходность. Полученная стоимость прибавляется к номинальной стоимости или стоимости погашения облигации, деленной на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная до общего количества периодов.

Например, предположим, что дюрация Маколея пятилетней облигации со стоимостью погашения 5000 долларов и купонной ставкой 6% составляет 4,87 года ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

Модифицированная дюрация этой облигации с доходностью к погашению 6% за один купонный период составляет 4,59 года (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Таким образом, если доходность к погашению увеличится с 6% до 7%, дюрация облигации уменьшится на 0,28 года (4,87 — 4,59).

Формула для расчета процентного изменения цены облигации — это изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%. Это результирующее процентное изменение облигации для увеличения доходности на 1% рассчитывается как -4,59% (0,01 * — 4,59 * 100%).

Измененная продолжительность

Modified Durationзнак равноMacauley Duration(1+YТMп)жчере:YТMзнак равноуяелд то мтутятупзнак равнонумбер оф коупон периодс пер йеар\ begin {align} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac {YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {где:} \\ & YTM = \ text {доходность к погашению} \\ & n = \ text {количество купонных периодов в году} \ end {выровнено}Взаимодействие с другими людьмиИзмененная продолжительностьзнак равно( 1+п

Модифицированная дюрация  является настроенной версией дюрации Маколея, надолю которого приходится на изменение доходности к срокам.Формула для модифицированной дюрации представляет собой значение дюрации Маколея, деленное на 1, плюс доходность к погашению, деленную на количество купонных периодов в году.Модифицированная дюрация определяет изменения дюрации и цены облигации для каждого  процентного изменения  доходности к погашению.1

Например, предположим, что шестилетняя облигация имеет номинальную стоимость 1000 долларов и годовую купонную ставку 8%. Расчетная дюрация Маколея составляет 4,99 года ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

Модифицированная дюрация этой облигации с доходностью к погашению 8% за один купонный период составляет 4,62 года (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Таким образом, если доходность к погашению увеличивается с 8% до 9%, дюрация облигации уменьшится на 0,37 года (4,99 — 4,62).

Формула для расчета процентного изменения цены облигации — это изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%. Это результирующее процентное изменение в облигации для увеличения процентной ставки с 8% до 9% рассчитывается как -4,62% ​​(0,01 * — 4,62 * 100%).

Следовательно, если процентные ставки вырастут на 1% за ночь, цена облигации, как ожидается, упадет на 4,62%.

Модифицированные свопы дюрации и процентной ставки

Модифицированная продолжительность может быть увеличена для расчета количества лет, в течение которых процентный своп возмещает цену, уплаченную за своп. Своп процентных ставок — это обмен одного набора  денежных потоков  на другой, и он основан на спецификациях процентных ставок между сторонами.

Модифицированная дюрация рассчитывается путем деления долларовой стоимости изменения на один базисный пункт части процентного свопа или ряда денежных потоков на приведенную стоимость ряда денежных потоков. Затем значение умножается на 10 000. Модифицированная продолжительность для каждой серии денежных потоков также может быть рассчитана путем деления долларовой стоимости изменения базисной точки серии денежных потоков на условную стоимость плюс рыночная стоимость. Затем дробь умножается на 10 000.

Для расчета модифицированной дюрации процентного свопа необходимо рассчитать модифицированную дюрацию обоих  этапов. Разница между двумя модифицированными дюрациями — это модифицированная дюрация процентного свопа. Формула для модифицированной продолжительности процентного свопа — это модифицированная продолжительность получающей части за вычетом модифицированной продолжительности платящей части.

Например, предположим, что банк A и банк B заключают процентный своп. Модифицированная продолжительность получающей части свопа рассчитывается как девять лет, а модифицированная продолжительность платящей части рассчитывается как пять лет. В результате модифицированная дюрация процентного свопа составляет четыре года (9 лет — 5 лет).

Сравнение продолжительности Маколея и модифицированной продолжительности

Поскольку дюрация Маколея измеряет средневзвешенное время, в течение которого инвестор должен держать облигацию до тех пор, пока текущая стоимость денежных потоков по облигации не станет равной сумме, уплаченной за облигацию, ее часто используют менеджеры по облигациям, стремящиеся управлять риском портфеля облигаций с помощью стратегий иммунизации.

Напротив, модифицированная дюрация определяет, насколько изменяется дюрация для каждого процентного изменения доходности, одновременно измеряя, насколько изменение процентных ставок влияет на цену облигации. Таким образом, модифицированная дюрация может служить мерой риска для инвесторов в облигации, приблизительно определяя, насколько цена облигации может снизиться с увеличением процентных ставок. Важно отметить, что цены на облигации и процентные ставки имеют  обратную зависимость  друг от друга.