Использование и пределы волатильности

Инвесторы любят сосредотачиваться на обещании высокой прибыли, но им также следует спросить, какой риск они должны принять на себя в обмен на эту прибыль. Хотя мы часто говорим о риске в общем смысле, существуют также формальные выражения отношения риска и вознаграждения.

Например, коэффициент Шарпа измеряет избыточную доходность на единицу риска, где риск рассчитывается как волатильность, которая является традиционной и популярной мерой риска. Его статистические свойства хорошо известны, и он используется в нескольких концепциях, таких как современная теория портфеля и модель Блэка-Шоулза. В этой статье мы исследуем волатильность, чтобы понять ее использование и пределы.

Годовое стандартное отклонение

В отличие от подразумеваемой волатильности, которая относится к теории ценообразования опционов и является прогнозной оценкой, основанной на консенсусе рынка, обычная волатильность смотрит назад. В частности, это в годовом стандартном отклонении от исторической доходности.

Традиционные рамки риска, основанные на стандартном отклонении, обычно предполагают, что доходность соответствует нормальному колоколообразному распределению. Нормальные распределения дают нам удобные рекомендации: примерно в двух третях случаев (68,3%) доходность должна находиться в пределах одного стандартного отклонения (+/-); и в 95% случаев доходность должна находиться в пределах двух стандартных отклонений. Два качества графа нормального распределения — это тонкие «хвосты» и идеальная симметрия. Тонкие хвосты означают очень низкую (около 0,3% случаев) доходность, которая отличается от среднего более чем на три стандартных отклонения. Симметрия подразумевает, что частота и величина перевернутых прибыли является зеркальным отражением ухудшения потерь.

Следовательно, традиционные модели рассматривают любую неопределенность как риск независимо от направления. Как показали многие люди, это проблема, если доходность несимметрична — инвесторы беспокоятся о своих потерях «слева» от среднего, но не беспокоятся о прибылях справа от среднего.

Ниже мы проиллюстрируем эту причуду двумя вымышленными акциями. Падающая акция (синяя линия) совершенно без разброса и, следовательно, дает волатильность, равную нулю, но растущая акция — поскольку она демонстрирует несколько шоков вверх, но не единственное падение — дает волатильность (стандартное отклонение) 10%.

Теоретические свойства

Например, когда мы рассчитываем волатильность индекса S&P 500 по состоянию на 31 января 2004 г., мы получаем от 14,7% до 21,1%. Почему такой диапазон? Потому что мы должны выбрать и интервал, и исторический период. Что касается интервала, мы можем собирать серию ежемесячных, еженедельных или дневных (даже внутрисуточных) доходностей. И наша серия доходностей может охватывать исторический период любой продолжительности, например, три года, пять лет или 10 лет. Ниже мы вычислили стандартное отклонение доходности для S&P 500 за 10-летний период, используя три разных интервала:

Обратите внимание, что волатильность увеличивается с увеличением интервала, но не почти пропорционально: еженедельная сумма почти в пять раз больше дневной суммы, а ежемесячная — почти в четыре раза больше еженедельной. Мы подошли к ключевому аспекту теории случайных блужданий : стандартное отклонение масштабируется (увеличивается) пропорционально квадратному корню из времени. Следовательно, если дневное стандартное отклонение составляет 1,1% и если в году 250 торговых дней, среднегодовое стандартное отклонение представляет собой дневное стандартное отклонение 1,1%, умноженное на квадратный корень из 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%).. Зная это, мы можем рассчитать среднеквадратичные отклонения интервалов для S&P 500 в годовом выражении, умножив их на квадратный корень из числа интервалов в году:

Другое теоретическое свойство волатильности может вас удивить, а может и не удивить: оно снижает доходность. Это связано с ключевым предположением идеи случайного блуждания: доходность выражается в процентах. Представьте, что вы начинаете со 100 долларов, а затем получаете 10%, чтобы получить 110 долларов. Затем вы теряете 10%, что дает вам 99 долларов (110 долларов x 90% = 99 долларов). Затем вы снова увеличиваете прибыль на 10% до 108,90 долларов США (99 долларов США x 110% = 108,9 долларов США). В итоге вы теряете 10% до 98,01 доллара. Это может показаться нелогичным, но ваша основная сумма медленно разрушается, даже если ваш средний выигрыш составляет 0%!

Если, например, вы ожидаете среднегодовой прирост в 10% в год (т. Е. Среднее арифметическое), оказывается, что ваш долгосрочный ожидаемый прирост составляет менее 10% в год. Фактически, она будет уменьшена примерно на половину дисперсии (где дисперсия — это квадрат стандартного отклонения). В чистой гипотетике ниже мы начинаем со 100 долларов, а затем представляем, что пять лет волатильности заканчиваются на 157 долларов:

Правильно ли относятся к возврату? Теоретическая основа, несомненно, изящна, но она зависит от хорошей доходности. А именно нормальное распределение и случайное блуждание (т.е. независимость от одного периода к другому). Как это соотносится с реальностью? Мы собрали ежедневную доходность за последние 10 лет для S&P 500 и Nasdaq ниже (около 2500 ежедневных наблюдений):

Как и следовало ожидать, волатильность Nasdaq (среднегодовое стандартное отклонение 28,8%) выше, чем волатильность S&P 500 (среднегодовое стандартное отклонение 18,1%). Мы можем наблюдать два различия между нормальным распределением и фактической доходностью. Во-первых, фактическая доходность имеет более высокие пики, что означает больший перевес доходности около среднего. Во-вторых, фактическая прибыль имеет более толстые хвосты. (Наши результаты в некоторой степени совпадают с более обширными академическими исследованиями, которые также, как правило, обнаруживают высокие пики и толстые хвосты; технический термин для этого — эксцесс ). Допустим, мы считаем минус три стандартных отклонения большой потерей: S&P 500 ежедневно терял минус три стандартных отклонения примерно в -3,4% случаев. Нормальная кривая предсказывает, что такая потеря будет происходить примерно три раза за 10 лет, но на самом деле это произошло 14 раз!

Это распределения доходности за отдельные интервалы, но что теория говорит о доходности во времени? В качестве теста давайте посмотрим на фактические дневные распределения S&P 500 выше. В этом случае средняя годовая доходность (за последние 10 лет) составляла около 10,6%, а, как уже говорилось, годовая волатильность составляла 18,1%. Здесь мы проводим гипотетическое испытание, начав со 100 долларов и удерживая его в течение 10 лет, но каждый год мы подвергаем инвестиции случайному исходу, который в среднем составляет 10,6% со стандартным отклонением 18,1%. Это испытание проводилось 500 раз, что составляло так называемое моделирование Монте-Карло. Окончательные ценовые результаты 500 исследований показаны ниже:

Нормальное распределение показано в качестве фона исключительно для того, чтобы выделить очень необычные ценовые результаты. Технически конечные результаты цены логнормальны (это означает, что если бы ось x была преобразована в натуральный логарифм x, распределение выглядело бы более нормальным). Дело в том, что несколько ценовых исходов ушли вправо: из 500 испытаний шесть результатов дали результат на конец периода в 700 долларов! Эти несколько драгоценных результатов смогли заработать в среднем более 20% ежегодно в течение 10 лет. С левой стороны, поскольку уменьшение баланса снижает совокупный эффект процентных потерь, мы получили только несколько окончательных результатов, которые были меньше 50 долларов. Подводя итог трудной идее, мы можем сказать, что доходность за интервал, выраженная в процентах, обычно распределяется, а конечные результаты по цене распределены нормально логарифмически.

Наконец, еще один вывод наших испытаний согласуется с «эрозионным эффектом» волатильности: если бы ваши инвестиции приносили точно средний годовой доход, в конце вы бы держали около 273 долларов (10,6% за 10 лет). Но в этом эксперименте наша общая ожидаемая прибыль была ближе к 250 долларам. Другими словами, средний (арифметический) годовой прирост составил 10,6%, но совокупный (геометрический) прирост был меньше.

Очень важно помнить, что наша симуляция предполагает случайное блуждание: предполагается, что возвраты от одного периода к другому полностью независимы. Мы никоим образом не доказали это, и это нетривиальное предположение. Если вы считаете, что доходность соответствует тенденциям, вы технически утверждаете, что она показывает положительную серийную корреляцию. Если вы думаете, что они возвращаются к среднему значению, то технически вы говорите, что они показывают отрицательную серийную корреляцию. Ни одна из позиций несовместима с независимостью.

Bottom Line Волатильность в годовом исчислении стандартного отклонения доходности. В традиционных теоретических рамках он не только измеряет риск, но и влияет на ожидание долгосрочной (многопериодной) доходности. Таким образом, он просит нас принять сомнительные предположения о том, что интервальные доходности обычно распределены и независимы. Если эти предположения верны, высокая волатильность — это палка о двух концах: она подрывает вашу ожидаемую долгосрочную доходность (снижает среднее арифметическое до среднего геометрического), но также дает вам больше шансов получить несколько больших прибылей.