Вычисление исторической волатильности в Excel

Стоимость финансовых активов меняется ежедневно. Инвесторам нужен индикатор для количественной оценки этих изменений, которые часто трудно предсказать. Спрос и предложение — два основных фактора, влияющих на изменение цен на активы. В свою очередь, движения цен отражают амплитуду колебаний, которые являются причинами пропорциональных прибылей и убытков. С точки зрения инвестора неопределенность, связанная с такими влияниями и колебаниями, называется риском.

Цена опциона зависит от его базовой способности двигаться или, другими словами, от его способности быть нестабильным. Чем больше вероятность его движения, тем дороже его премия будет ближе к истечению срока. Таким образом, расчет волатильности базового актива помогает инвесторам устанавливать цену на производные инструменты на основе этого актива.

Измерение вариации актива

Один из способов измерить вариацию актива — количественно оценить дневную доходность (процентное изменение на ежедневной основе) актива. Это подводит нас к определению и концепции исторической изменчивости. Историческая волатильность основана на исторических ценах и представляет собой степень изменчивости доходности актива. Это число без единицы измерения и выражается в процентах.

Вычисление исторической волатильности

Если мы назовем P (t) ценой финансового актива ( валютного актива, акций, валютной пары и т. Д.) В момент времени t, а P (t-1) ценой финансового актива в момент t-1, мы определим дневная доходность актива r (t) в момент времени t на:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1))

где Ln (x) = функция натурального логарифма.

Общий доход  R в момент времени Т:  

R = r1 + r2 + r3 + 2 +… + rt-1 + rt,

что эквивалентно:

R = Ln (P1 / P0) +… Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1) 

Имеем следующее равенство:

Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b)

Итак, это дает:

R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) *… (Pt / Pt-1])

R = Ln [(P1. P2… Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2… Pt-2. Pt-1)]

И после упрощения имеем:

R = Ln (Pt / P0).

Доходность обычно рассчитывается как разница в относительных изменениях цен. Это означает, что если актив имеет цену P (t) в момент времени t и P (t + h) в момент времени t + h> t, доходность (r) составляет:

r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] — 1

Когда доходность небольшая, например, всего несколько процентов, у нас есть:

г ≈ Ln (1 + г)

Мы можем заменить r логарифмом текущей цены, поскольку:

г ≈ Ln (1 + г)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] — 1))

г ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

Например, из ряда цен закрытия достаточно взять логарифм отношения двух последовательных цен, чтобы вычислить дневную доходность r (t).

Таким образом, можно также вычислить общий доход R, используя только начальную и конечную цены.

Годовая волатильность

Чтобы полностью оценить различную волатильность в течение года, мы умножаем эту волатильность на коэффициент, который учитывает изменчивость активов в течение одного года.  

Для этого мы используем дисперсию. Дисперсия — это квадрат отклонения от средней дневной доходности за один день.

Чтобы вычислить квадратное число отклонений от средней дневной доходности за 365 дней, мы умножаем дисперсию на количество дней (365). Среднегодовое стандартное отклонение находится путем извлечения квадратного корня из результата:

Дисперсия = σ²день = [Σ (r (t)) ² / (n — 1)]

Для годовой дисперсии, если мы предположим, что год составляет 365 дней, и каждый день имеет одинаковую дневную дисперсию, σ²daily, мы получим:

Годовая дисперсия = 365. σ² Ежедневная годовая
дисперсия = 365. [Σ (r (t)) ² / (n — 1)]

Наконец, поскольку волатильность определяется как квадратный корень из дисперсии:

Волатильность = √ (отклонение в годовом исчислении)

Волатильность = √ (365. Σ² ежедневно)

Волатильность = √ (365 [Σ (r (t)) ² / (n — 1)].)

Моделирование