Исследование экспоненциально взвешенной скользящей средней
Волатильность — наиболее распространенная мера риска, но она бывает нескольких видов. В предыдущей статье мы показали, как рассчитать простую историческую волатильность. В этой статье мы улучшим простую волатильность и обсудим экспоненциально взвешенную скользящую среднюю (EWMA).
Историческая и предполагаемая волатильность
Во-первых, давайте немного рассмотрим этот показатель. Существует два общих подхода: историческая и подразумеваемая (или неявная) волатильность. Исторический подход предполагает, что прошлое — это пролог; мы измеряем историю в надежде, что она предсказуема. Подразумеваемая волатильность, с другой стороны, игнорирует историю; он решает проблему волатильности, подразумеваемой рыночными ценами. Он надеется, что рынок знает лучше, и что рыночная цена содержит, даже если неявно, согласованную оценку волатильности.
Если мы сосредоточимся только на трех исторических подходах (слева вверху), у них есть два общих шага:
- Рассчитайте серию периодических доходностей
- Применить схему взвешивания
Сначала мы рассчитываем периодическую доходность. Обычно это серия ежедневных доходностей, где каждая доходность выражается в постоянно усложненных терминах. Для каждого дня мы берем натуральный логарифм отношения цен акций (т. Е. Сегодняшнюю цену, деленную на вчерашнюю и т. Д.).
Это дает серию ежедневных доходностей, от u i до u i-m, в зависимости от того, сколько дней (m = дней) мы измеряем.
Это подводит нас ко второму шагу: здесь три подхода различаются. В предыдущей статье мы показали, что при нескольких допустимых упрощениях простая дисперсия представляет собой среднее значение квадратов доходности:
Вариансезнак равноσп2знак равно1м∑язнак равно1мтып-12жчере:мзнак равноНумбер оф дайс меасуредпзнак равноDу ятызнак равноDifference of return from average return\ begin {align} & \ text {Variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n — 1} \\ & \ textbf {где:} \\ & m = \ text {Количество измеренных дней} \\ & n = \ text {Day} i \\ & u = \ text {Разница между доходностью и средней доходностью} \\ \ end {выровнена}Взаимодействие с другими людьмиДисперсиязнак равноσп2Взаимодействие с другими людьмизнак равном
Обратите внимание, что это суммирует каждый из периодических отчетов, а затем делит эту сумму на количество дней или наблюдений (m). Итак, на самом деле это просто средний квадрат периодической доходности. Другими словами, каждому возведенному в квадрат доходу дается равный вес. Итак, если альфа (а) является весовым коэффициентом (в частности, а = 1 / м), тогда простая дисперсия выглядит примерно так:
EWMA улучшает простую дисперсию. Слабость этого подхода заключается в том, что все доходы имеют одинаковый вес. Вчерашняя (совсем недавняя) доходность не больше влияет на дисперсию, чем доходность прошлого месяца. Эта проблема решается с помощью экспоненциально взвешенной скользящей средней (EWMA), в которой более поздние доходности имеют больший вес для дисперсии.
Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) вводит лямбда, которая называется параметром сглаживания. Лямбда должна быть меньше единицы. При этом условии, вместо равных весов, каждый возведенный в квадрат доход взвешивается с помощью следующего множителя :
Например, RiskMetricsTM, финансовый риск управляющей компании, какправило,использовать лямбда 0,94, или 94%. В этом случае первая (самая последняя) квадратная периодическая доходность имеет вес (1-0,94) (. 94) = 6%. Следующий возведенный в квадрат результат — это просто лямбда, кратная предыдущему весу; в данном случае 6%, умноженные на 94% = 5,64%. А вес за третий предшествующий день равен (1-0,94) (0,94) = 5,30%.
Это значение выражения «экспонента» в EWMA: каждый вес является постоянным множителем (т. Е. Лямбда, которая должна быть меньше единицы) веса предыдущего дня. Это обеспечивает взвешенную дисперсию или смещение в сторону более свежих данных. Разница между простой волатильностью и EWMA для Google показана ниже.
Простая волатильность эффективно взвешивает каждый периодический доход на 0,196%, как показано в столбце O (у нас были ежедневные данные о ценах на акции за два года. Это 509 дневных доходностей и 1/509 = 0,196%). Но обратите внимание, что в столбце P задан вес 6%, затем 5,64%, затем 5,3% и так далее. Это единственное различие между простой дисперсией и EWMA.
Помните: после суммирования всего ряда (в столбце Q) у нас есть дисперсия, которая является квадратом стандартного отклонения. Если мы хотим волатильности, нам нужно не забывать извлекать квадратный корень из этой дисперсии.
Какая разница в дневной волатильности между дисперсией и EWMA в случае Google? Это важно: простая дисперсия дала нам дневную волатильность 2,4%, но EWMA дала дневную волатильность только 1,4% (подробности см. В таблице). Судя по всему, в последнее время волатильность Google улеглась; следовательно, простая дисперсия может быть искусственно завышенной.
Сегодняшнее отклонение является функцией отклонения предыдущего дня
Вы заметите, что нам нужно было вычислить длинную серию экспоненциально убывающих весов. Мы не будем здесь заниматься математикой, но одна из лучших особенностей EWMA заключается в том, что весь ряд удобно сводится к рекурсивной формуле:
Рекурсивный означает, что сегодняшняя дисперсия ссылается на дисперсию предыдущего дня (т. Е. Является функцией). Вы также можете найти эту формулу в электронной таблице, и она дает тот же результат, что и обычный расчет! В нем говорится: сегодняшняя дисперсия (согласно EWMA) равна вчерашней дисперсии (взвешенной с помощью лямбда) плюс вчерашний квадрат доходности (взвешенный с точностью до единицы минус лямбда). Обратите внимание, как мы просто складываем два члена: вчерашнюю взвешенную дисперсию и вчерашнюю взвешенную квадратную доходность.
Даже в этом случае лямбда — это наш параметр сглаживания. Более высокое значение лямбда (например, 94% RiskMetric) указывает на более медленное затухание в ряду — в относительном выражении у нас будет больше точек данных в ряду, и они будут «падать» медленнее. С другой стороны, если мы уменьшим лямбду, мы укажем на более высокий спад: веса падают быстрее и, как прямой результат быстрого спада, используется меньше точек данных. (В электронной таблице лямбда — это вход, поэтому вы можете поэкспериментировать с его чувствительностью).
Резюме
Волатильность — это мгновенное стандартное отклонение акции и наиболее распространенная метрика риска. Это также квадратный корень из дисперсии. Мы можем измерить дисперсию исторически или неявно (подразумеваемая волатильность). При историческом измерении самый простой метод — это простая дисперсия. Но слабость простой дисперсии в том, что все доходы имеют одинаковый вес. Таким образом, мы сталкиваемся с классическим компромиссом: нам всегда нужно больше данных, но чем больше данных у нас есть, тем больше наши вычисления разбавляются отдаленными (менее актуальными) данными. Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) улучшает простую дисперсию за счет присвоения весов периодическим доходам. Поступая таким образом, мы можем использовать большой размер выборки, но также придать больший вес более свежим доходам.