Использование исторической волатильности для оценки будущего риска

Волатильность имеет решающее значение для измерения риска. Как правило, волатильность относится к стандартному отклонению, которое является мерой дисперсии. Большая дисперсия подразумевает больший риск, что подразумевает более высокие шансы ценовой эрозии или потери портфеля — это ключевая информация для любого инвестора. Волатильность может использоваться сама по себе, как в случае « портфель хедж-фонда демонстрировал ежемесячную волатильность 5%», но этот термин также используется в сочетании с показателями доходности, как, например, в знаменателе коэффициента Шарпа. Волатильность также является ключевым параметром параметрической стоимости, подверженной риску (VAR), где подверженность портфелю является функцией волатильности. В этой статье мы покажем вам, как рассчитать историческую волатильность, чтобы определить будущий риск ваших инвестиций. (Для получения дополнительной информации прочтите «Использование и пределы волатильности».)

Учебное пособие: волатильность опционов

Волатильность является наиболее распространенной мерой риска, несмотря на ее недостатки, в том числе тот факт, что движение цены вверх считается столь же «рискованным», как и движение вниз. Мы часто оцениваем будущую волатильность, глядя на историческую волатильность. Чтобы рассчитать историческую волатильность, нам нужно сделать два шага:

1. Рассчитайте серию периодических доходностей (например, ежедневных доходностей).

2. Выберите схему взвешивания (например, невзвешенную схему).

Ежедневная периодическая доходность акций (обозначенная ниже как u i ) — это доходность со вчерашнего дня на сегодняшний день. Обратите внимание, что если бы был дивиденд, мы бы добавили его к сегодняшней цене акций. Для расчета этого процента используется следующая формула:

Однако в отношении цен на акции это простое процентное изменение не так полезно, как непрерывно начисляемая доходность. Причина этого в том, что мы не можем надежно сложить числа простых процентных изменений за несколько периодов, но непрерывно вычисляемая доходность может быть масштабирована в течение более длительного периода времени. Технически это называется «согласованность во времени». Поэтому в случае волатильности курса акций предпочтительно рассчитывать непрерывно начисляемую доходность по следующей формуле:

тыязнак равнолп(SяSя-1)u_i = ln \ bigg (\ frac {S_i} {S_ {i-1}} \ bigg)тыяВзаимодействие с другими людьмизнак равноln(Sя-1Взаимодействие с другими людьми

В приведенном ниже примере мы взяли образец дневных цен на акции Google (NYSE: закрытия. Акции закрылись на уровне 373,36 доллара 25 августа 2006 года; закрытие предыдущего дня составляло 373,73 доллара. Таким образом, непрерывная периодическая доходность составляет -0,126%, что равно натуральному логарифму (ln) отношения [373,26 / 373,73].

Далее мы переходим ко второму шагу: выбору схемы взвешивания. Это включает решение о длине (или размере) нашей исторической выборки. Хотим ли мы измерять дневную волатильность за последние (конечные) 30 дней, 360 дней или, возможно, три года?

В нашем примере мы выберем невзвешенное 30-дневное среднее. Другими словами, мы оцениваем среднюю дневную волатильность за последние 30 дней. Это рассчитывается с помощью формулы для выборочной дисперсии :

Мы можем сказать, что это формула для выборочной дисперсии, потому что сумма делится на (m-1) вместо (m). Вы можете ожидать, что в знаменателе будет (m), потому что это будет эффективно усреднять ряд. Если бы это было (m), это дало бы дисперсию генеральной совокупности. Дисперсия населения утверждает, что имеет все точки данных для всего населения, но когда дело доходит до измерения волатильности, мы никогда не верим в это. Любая историческая выборка — это просто подмножество более крупной «неизвестной» совокупности. Таким образом, технически мы должны использовать дисперсию выборки, которая использует (m-1) в знаменателе и дает «несмещенную оценку», чтобы создать немного более высокую дисперсию, чтобы отразить нашу неопределенность.

Наша выборка — это 30-дневный снимок, сделанный из более крупной неизвестной (и, возможно, неизвестной) совокупности. Если мы открываем MS Excel, выбираем тридцатидневный диапазон периодической доходности (т. Е. Ряд: -0,126%, 0,080%, -1,293% и так далее в течение тридцати дней) и применяем функцию = VARA (), мы выполняем формула выше. В случае с Google мы получаем около 0,0198%. Это число представляет собой примерную дневную дисперсию за 30-дневный период. Мы извлекаем квадратный корень из дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение. В случае Google квадратный корень из 0,0198% составляет примерно 1,4068% — историческую дневную волатильность Google.

Можно сделать два упрощающих предположения о приведенной выше формуле дисперсии. Во-первых, мы могли бы предположить, что средняя дневная доходность достаточно близка к нулю, чтобы мы могли рассматривать ее как таковую. Это упрощает суммирование до суммы возведенных в квадрат доходов. Во-вторых, мы можем заменить (m-1) на (m). Это заменяет «несмещенную оценку» на «оценку максимального правдоподобия».

Это упрощает приведенное выше до следующего уравнения:

вариансезнак равноσп2знак равно1м∑язнак равно1мтып-я2\ begin {align} \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {ni} \ end {выравнивается}отклонениезнак равноσп2Взаимодействие с другими людьмизнак равном

Опять же, это простые в использовании упрощения, которые на практике часто делают профессионалы. Если периоды достаточно короткие (например, дневная доходность), эта формула является приемлемой альтернативой. Другими словами, приведенная выше формула проста: дисперсия — это среднее квадратов доходности. В приведенной выше серии Google эта формула дает практически идентичную дисперсию (+ 0,0198%). Как и раньше, не забудьте извлечь квадратный корень из дисперсии, чтобы получить волатильность.

Причина, по которой это невзвешенная схема, заключается в том, что мы усредняли каждую дневную доходность в 30-дневном ряду: каждый день дает равный вес по отношению к среднему. Это обычное дело, но не совсем точное. На практике мы часто хотим придавать больший вес более свежим отклонениям и / или доходности. Поэтому более продвинутые схемы включают схемы взвешивания (например, модель GARCH, экспоненциально взвешенное скользящее среднее), которые присваивают больший вес более свежим данным.

Заключение Поскольку определение будущего риска инструмента или портфеля может быть трудным, мы часто измеряем историческую волатильность и предполагаем, что «прошлое — это пролог». Историческая волатильность — это стандартное отклонение, например, «среднегодовое стандартное отклонение акций составляло 12%». Мы вычисляем это, взяв выборку доходности, например, 30 дней, 252 торговых дня (в году), три года или даже 10 лет. При выборе размера выборки мы сталкиваемся с классическим компромиссом между недавними и надежными данными: нам нужно больше данных, но чтобы их получить, нам нужно вернуться в прошлое, что может привести к сбору данных, которые могут не иметь отношения к будущее. Другими словами, историческая волатильность не является точным показателем, но может помочь вам лучше понять профиль риска ваших инвестиций.

Ознакомьтесь с учебным фильмом Дэвида Харпера « Историческая волатильность — простое, невзвешенное среднее», чтобы узнать больше по этой теме.