Непрерывный сложный процент
Сложные проценты — это проценты, начисляемые на первоначальную основную сумму, а также на накопленные проценты за предыдущие периоды депозита или ссуды. Эффект сложных процентов зависит от частоты.
Предположим, что годовая процентная ставка составляет 12%. Если мы начнем год со 100 долларов и сложим только один раз, в конце года основная сумма вырастет до 112 долларов (100 долларов x 1,12 = 112 долларов). Проценты, применяемые только к основной сумме долга, называются простыми процентами. Если вместо этого мы увеличиваем каждый месяц до 1%, в конце года мы получаем более 112 долларов. То есть 100 x 1,01 ^ 12 равняются 112,68 доллара. (Это выше, потому что мы увеличивали частоту.)
Постоянно начисляемые доходы составляют наиболее часто. Непрерывное начисление сложных процентов — это математический предел, которого может достигать сложный процент. Это крайний случай начисления сложных процентов, поскольку большая часть процентов начисляется ежемесячно, ежеквартально или раз в полгода.
Ключевые выводы
- Простые проценты начисляются только на основную сумму, а не на накопленные проценты.
- Сложные проценты — это проценты, начисляемые на основную сумму долга и ранее примененные проценты.
- Эффект сложных процентов зависит от того, как часто они применяются.
- Для облигаций доходность эквивалента облигации — это ожидаемая годовая доходность.
- Постоянное увеличение прибыли за несколько периодов.
- Считается, что начисление процентов на самой высокой частоте происходит непрерывно.
Полугодовые нормы прибыли
Во-первых, давайте взглянем на потенциально сбивающее с толку доходность, эквивалентную облигации (или основу, эквивалентную облигации). Это означает, что если доходность облигации составляет 6% на полугодовой основе, ее эквивалентная доходность составляет 12%.
Полугодовая доходность просто увеличивается вдвое. Это потенциально сбивает с толку, поскольку эффективная доходность облигации с доходностью, эквивалентной 12% облигации, составляет 12,36% (т. Е. 1,06 ^ 2 = 1,1236). Удвоение полугодовой доходности — это просто соглашение об именовании облигаций. Следовательно, если мы читаем о 8% -ной облигации, составляемой раз в полгода, мы предполагаем, что это относится к 4% -ной полугодовой доходности.
Ежеквартальные, ежемесячные и дневные ставки доходности
Теперь поговорим о более высоких частотах. Мы по-прежнему предполагаем, что годовая рыночная процентная ставка составит 12%. Согласно соглашениям об именовании облигаций, это подразумевает 6% сложную ставку за полугодие. Теперь мы можем выразить квартальную сложную ставку как функцию рыночной процентной ставки.
Учитывая годовую рыночную ставку ( r), квартальная сложная ставка ( r q ) определяется по формуле:
Итак, для нашего примера, где годовая рыночная ставка составляет 12%, квартальная сложная ставка составляет 11,825%:
рqзнак равно4
Взаимодействие с другими людьмирqВзаимодействие с другими людьмизнак равно4[(2
Аналогичная логика применима к ежемесячному начислению сложных процентов. Месячная сложная ставка ( r m ) представлена здесь как функция годовой рыночной процентной ставки ( r):
Ежедневная сложная ставка ( d) как функция рыночной процентной ставки ( r) определяется по формуле:
рdзнак равно360
рdВзаимодействие с другими людьмиВзаимодействие с другими людьмизнак равно360[(2
Как работает непрерывное смешивание
Если мы увеличим сложную частоту до предела, мы будем постоянно увеличивать сложность. Хотя это может оказаться непрактичным, постоянно начисляемая процентная ставка предлагает удивительно удобные свойства. Оказывается, непрерывно начисляемая процентная ставка определяется по формуле:
Краткий обзор
С меньшими временными интервалами сумма заработанных процентов бесконечно мала.
Ln () — это натуральный логарифм, поэтому в нашем примере непрерывно начисляемая ставка равна:
рcоптяптыотыsзнак равнопер(1+0.12)знак равнопер(1.12)≅11.33%\ begin {align} & r_ {continuous} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11.33 \% \\ \ end {align}Взаимодействие с другими людьмирконтянуоусВзаимодействие с другими людьмизнак равноln(1+0.12)знак равнолп(1.12)≅11.33%Взаимодействие с другими людьми
Мы попадаем в то же самое место, беря натуральный логарифм этого отношения: конечное значение, деленное на начальное значение.
рcоптяптыотыsзнак равнопер(ВалуеEndВалуеСтарт)=ln(112100)≅11.33%\begin{aligned} &r_{continuous} = \ln \left ( \frac { \text{Value}_\text{End} }{ \text{Value}_\text{Start} } \right ) = \ln \left ( \frac { 112 }{ 100 } \right ) \cong 11.33\% \\ \end{aligned}rcontinuous=ln(ValueStart
Последнее является обычным явлением при вычислении непрерывно начисляемой прибыли для акций. Например, если цена акции подскочит с 10 долларов в один день до 11 долларов на следующий день, непрерывно начисляемая дневная доходность определяется следующим образом:
rcontinuous=ln(ValueEndValueStart)=ln($11$10)≅9.53%\begin{aligned} &r_{continuous} = \ln \left ( \frac { \text{Value}_\text{End} }{ \text{Value}_\text{Start} } \right ) = \ln \left ( \frac { \$11 }{ \$10 } \right ) \cong 9.53\% \\ \end{aligned}rcontinuous=ln(ValueStart
Что такого замечательного в непрерывно начисляемой ставке (или доходности), которую мы обозначим r c? Во-первых, его легко масштабировать. Учитывая принцип (P), наше окончательное богатство за (n) лет определяется следующим образом:
w=Percn\begin{aligned} &w = Pe ^ {r_c n} \\ \end{aligned}w=Percn
Обратите внимание, что e — экспоненциальная функция. Например, если мы начнем со 100 долларов и непрерывно увеличиваем до 8% в течение трех лет, окончательное богатство будет выражаться следующим образом:
w=$100e(0.08)(3)=$127.12\begin{aligned} &w = \$100e ^ {(0.08)(3)} = \$127.12 \\ \end{aligned}w=$100e(0.08)(3)=$127.12
Дисконтирование до текущей стоимости (PV) — это просто начисление процентов в обратном порядке, поэтому текущая стоимость будущей стоимости (F), непрерывно увеличиваемой по ставке ( r c ), определяется как
PV of F received in (n) years=Fercn=Fe−rcn\begin{aligned} &\text{PV of F received in (n) years} = \frac { F }{ e ^ {r_c n} } = Fe ^ { -r_c n} \\ \end{aligned}PV of F received in (n) years=ercn
Например, если вы собираетесь получить 100 долларов через три года при непрерывной ставке 6%, его приведенная стоимость определяется следующим образом:
PV=Fe−rcn=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53\begin{aligned} &\text{PV} = Fe ^ { -r_c n} = ( \$100 ) e ^ { -(0.06)(3) } = \$100 e ^ { -0.18 } \cong \$83.53 \\ \end{aligned}PV=Fe−rcn=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53
Масштабирование за несколько периодов
Удобное свойство непрерывно начисляемой доходности состоит в том, что она масштабируется на несколько периодов. Если доходность за первый период составляет 4%, а доход за второй период составляет 3%, то доходность за два периода составляет 7%. Допустим, мы начинаем год со 100 долларов, которые вырастают до 120 долларов в конце первого года, а затем до 150 долларов в конце второго года. Непрерывно начисляемая доходность составляет соответственно 18,23% и 22,31%.
ln(120100)≅18.23%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 120 }{ 100 } \right ) \cong 18.23\% \\ \end{aligned}ln(100
ln(150120)≅22.31%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 120 } \right ) \cong 22.31\% \\ \end{aligned}ln(120
Если просто сложить их вместе, мы получим 40,55%. Это двухпериодная доходность:
ln(150100)≅40.55%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 100 } \right ) \cong 40.55\% \\ \end{aligned}ln(100
С технической точки зрения, непрерывная отдача зависит от времени. Согласованность во времени — это техническое случайной величиной, мы хотим, чтобы случайные величины за один период также были нормально распределены. Более того, многопериодная непрерывно начисленная доходность обычно распределяется (в отличие, скажем, от простой процентной доходности).
Часто задаваемые вопросы о непрерывном компаундировании
Что значит постоянно составлять?
Постоянное начисление процентов означает, что нет предела тому, как часто могут начисляться проценты. Непрерывное начисление процентов может происходить бесконечное количество раз, что означает, что на балансе всегда начисляются проценты.
Имеет ли составное постоянное значение ежедневно?
Постоянно нарастающий означает, что проценты накапливаются каждый момент, даже в самый короткий измеримый период времени. Таким образом, непрерывный прием компаундов происходит чаще, чем ежедневно.
Почему используется непрерывное смешивание?
Непрерывное начисление сложных процентов используется для того, чтобы показать, сколько можно заработать на балансе при постоянном начислении процентов. Инвесторы могут рассчитать, сколько они ожидают получить от инвестиций, приносящих непрерывно увеличивающуюся процентную ставку.
В чем разница между дискретным и непрерывным составлением?
При дискретном начислении процентов начисляются проценты в определенное время, например, ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно. Дискретное начисление процентов явно определяет время, в которое будут начислены проценты. При непрерывном начислении процентов начисляются проценты постоянно, в каждый момент времени.
В чем разница между ежегодным и постоянным составлением компаундов?
Ежегодное начисление процентов означает, что проценты начисляются на основную сумму долга и ранее накопленные проценты ежегодно; тогда как непрерывное начисление процентов означает, что проценты начисляются на основную сумму и накопленные проценты в любой момент. Нет доли времени, когда проценты не начисляются при непрерывном начислении процентов.
Суть
Мы можем переформулировать годовые процентные ставки на полугодовые, квартальные, ежемесячные или дневные процентные ставки (или ставки доходности). Наиболее частым является непрерывное начисление сложных процентов, которое требует от нас использования натурального логарифма и экспоненциальной функции, обычно используемых в финансах из-за его желаемых свойств. Компаундирование непрерывно легко возвращает масштаб в течение нескольких периодов и согласовано во времени.