Теория арбитражного ценообразования: это не просто математика
Теория арбитражного ценообразования (APT) является альтернативой модели ценообразования капитальных активов (CAPM) для объяснения доходности активов или портфелей. Он был разработан экономистом Стивеном Россом в 1970-х годах. С годами популярность теории арбитражного ценообразования выросла из-за ее относительно простых допущений. Однако теорию арбитражного ценообразования гораздо сложнее применить на практике, потому что она требует большого количества данных и сложного статистического анализа.
Давайте посмотрим, что такое теория арбитражного ценообразования и как мы можем применить ее на практике.
Что такое APT?
APT — это многофакторная техническая модель, основанная на взаимосвязи между ожидаемой доходностью финансового актива и его риском. Модель предназначена для определения чувствительности доходности актива к изменениям определенных макроэкономических переменных. Инвесторы и финансовые аналитики могут использовать эти результаты для определения цены ценных бумаг.
Теории арбитражного ценообразования присуща вера в то, что ценные бумаги с неверной оценкой могут представлять краткосрочные безрисковые возможности получения прибыли. APT отличается от более обычного CAPM, в котором используется только один фактор. Однако, как и CAPM, APT предполагает, что факторная модель может эффективно описывать корреляцию между риском и доходностью.
Три основных предположения APT
В отличие от модели ценообразования капитальных активов, теория арбитражного ценообразования не предполагает, что инвесторы владеют эффективными портфелями.
Однако теория основывается на трех основных предположениях:
- Возврат активов объясняется систематическими факторами.
- Инвесторы могут создать портфель активов, в котором конкретный риск устраняется за счет диверсификации.
- Среди хорошо диверсифицированных портфелей нет возможности арбитража. Если какие-либо возможности арбитража действительно существуют, они будут использованы инвесторами. (Так теория получила свое название.)
Допущения модели ценообразования капитальных активов
Мы видим, что это более мягкие допущения, чем у модели ценообразования основных средств. Эта модель предполагает, что все инвесторы придерживаются однородных ожиданий относительно средней доходности и дисперсии активов. Это также предполагает, что одна и та же эффективная граница доступна для всех инвесторов.
Для хорошо диверсифицированного портфеля базовая формула, описывающая теорию арбитражного ценообразования, может быть записана следующим образом:
R f — это доходность, если актив не подвергался воздействию каких-либо факторов, то есть всех
βn=0\beta_n = 0βn=0
В отличие от модели ценообразования капитальных активов, теория арбитражного ценообразования не определяет факторы. Однако, согласно исследованиям Стивена Росса и Ричарда Ролла, наиболее важными факторами являются следующие:
- Изменение инфляции
- Изменение уровня промышленного производства
- Изменения премий за риск
- Изменение формы временной структуры процентных ставок
По мнению исследователей Росс и Ролл, если не произойдет ничего удивительного в изменении вышеперечисленных факторов, фактическая доходность будет равна ожидаемой доходности. Однако в случае непредвиденных изменений факторов фактическая доходность будет определяться следующим образом.
Note that f’n is the unanticipated change in the factor or surprise factor, e is the residual part of actual return.
(For more on the capital asset pricing model, read The Advantages and Disadvantages of the CAPM Model.)
Estimating Factor Sensitivities and Factor Premiums
How we can actually derive factor sensitivities? Recall that in the capital asset pricing model, we derived asset beta, which measures asset sensitivity to market return, by simply regressing actual asset returns against market returns. Deriving the factors’ beta is pretty much the same procedure.
For the purpose of illustrating the technique of estimating ßn (sensitivity to the factor n) and fn (the nth factor price), let’s take the S&P 500 Total Return Index and the NASDAQ Composite Total Return Index as proxies for well-diversified portfolios for which we wish to find ßn and fn. For simplicity, we’ll assume that we know Rf (the risk free return) is 2 percent. We’ll also assume that the annual expected return of the portfolios are 7 percent for the S&P 500 Total Return Index and 9 percent for the NASDAQ Composite Total Return Index.
Step 1: Determine Systematic Factors
We have to determine the systematic factors by which portfolio returns are explained. Let’s assume that the real gross domestic product (GDP) growth rate and the 10-year Treasury bond yield change are the factors that we need. Since we have chosen two indices with large constituents, we can be confident that our portfolios are well diversified with close to zero specific risk.
Step 2: Obtain Betas
We ran a regression on historical quarterly data of each index against quarterly real GDP growth rates and quarterly T-bond yield changes. Note that because these calculations are for illustrative purposes only, we will skip the technical sides of regression analysis.
Here are the results:
Regression results tell us that both portfolios have much higher sensitivities to GDP growth rates (which is logical because GDP growth is usually reflected in the equity market change) and very tiny sensitivities to T-bond yield change (this too is logical because stocks are less sensitive to yield changes than bonds).
Step 3: Obtain Factor Prices or Factor Premiums
Now that we have obtained beta factors, we can estimate factor prices by solving the following set of equations:
7%=2%+3.45∗f1+0.033∗f27\% = 2\% + 3.45*f_1 + 0.033*f_27%=2%+3.45∗f1+0.033∗f2
f1=1.43%f_1= 1.43\%f1=1.43% and
f2=2.47%f_2= 2.47\%f2=2.47%
Therefore, a general ex-ante arbitrage pricing theory equation for any i portfolio will be as follows:
E(Ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2E(R_i) = 2\% + 1.43\%*\beta_1 + 2.47\%*\beta_2E(Ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2
Taking Advantage of Arbitrage Opportunities
The idea behind a no-arbitrage condition is that if there is a mispriced security in the market, investors can always construct a portfolio with factor sensitivities similar to those of mispriced securities and exploit the arbitrage opportunity.
For example, suppose that apart from our index portfolios there is an ABC Portfolio with the respective data provided in the following table:
We can construct a portfolio from the first two index portfolios (with an S&P 500 Total Return Index weight of 70 percent and NASDAQ Composite Total Return Index weight of 30 percent) with similar factor sensitivities as the ABC Portfolio as shown in the last raw of the table. Let’s call this the Combined Index Portfolio. The Combined Index Portfolio has the same betas to the systematic factors as the ABC Portfolio but a lower expected return.
This implies that the ABC portfolio is undervalued. We will then short the Combined Index Portfolio and with those proceeds purchase shares of the ABC Portfolio, which is also called the arbitrage portfolio (because it exploits the arbitrage opportunity). As all investors would sell an overvalued and buy an undervalued portfolio, this would drive away any arbitrage profit. This is why the theory is called arbitrage pricing theory.
The Bottom Line
Arbitrage pricing theory, as an alternative model to the capital asset pricing model, tries to explain asset or portfolio returns with systematic factors and asset/portfolio sensitivities to such factors. The theory estimates the expected returns of a well-diversified portfolios with the underlying assumption that portfolios are well-diversified and any discrepancy from the equilibrium price in the market would be instantaneously driven away by investors. Any difference between actual return and expected return is explained by factor surprises (differences between expected and actual values of factors).
The drawback of arbitrage pricing theory is that it does not specify the systematic factors, but analysts can find these by regressing historical portfolio returns against factors such as real GDP growth rates, inflation changes, term structure changes, risk premium changes and so on. Regression equations make it possible to assess which systematic factors explain portfolio returns and which do not.