Как строить модели оценки, подобные модели Блэка-Шоулза
Оценка вариантов может быть непростым делом. Рассмотрим следующий сценарий: в январе 2015 года акции опцион колл на акции IBM с ценой исполнения банкомата 155 долларов, ожидая получить выгоду от высокой процентной доходности, основанной на небольшой стоимости опциона ( опционная премия ), по сравнению с покупкой акций по высокой цене покупки.
Сегодня несколько различных готовых методов доступны варианты, в том числе стоимости в модели Блэка-Шоулза и биномиальной модели дерева -Какой может обеспечить быстрые ответы. Но каковы основные факторы и движущие концепции для создания таких моделей оценки? Можно ли приготовить что-то подобное, исходя из концепции этих моделей?
Здесь мы рассмотрим строительные блоки, лежащие в основе концепции и факторы, которые могут быть использованы в качестве основы для построения модели оценки актива, такого как опционы, обеспечивая параллельное сравнение с истоками теории Блэка-Шоулза (BS ) модель.
Эта статья не ставит под сомнение предположения или какие-либо другие факторы модели BS (это совершенно другая тема); скорее, он призван объяснить основную концепцию модели Блэка-Шоулза, а также идею разработки модели оценки.
Мир до Блэка-Шоулза
До Блэка-Шоулза широко использовалась основанная на равновесии модель ценообразования капитальных активов (CAPM). Доходность и риски были уравновешены друг с другом на основе предпочтений инвестора, т.е. ожидалось, что инвестор с высоким риском получит компенсацию (потенциал) более высокой прибыли в аналогичной пропорции.
Модель BS берет свое начало в CAPM.По словам Фишера Блэка: «Я применял модель ценообразования капитальных активов к каждому моменту жизни варранта, для каждой возможной цены акций и стоимости варранта».К сожалению, CAPM не смог выполнить требованиеценообразованияна основе варранта (опциона).
Блэк-Шоулз остается первой моделью, основанной на концепции арбитража, в которой произошел сдвиг парадигмы с моделей, основанных на оценке риска (таких как CAPM). Эта новая разработка модели BS заменила концепцию доходности акций CAPM с признанием того факта, что по идеально хеджированной позиции будет начисляться безрисковая ставка. Это позволило исключить вариации риска и доходности и установить концепцию арбитража, в которой оценки выполняются на основе предположений нейтральной по отношению к риску концепции — хеджированная (безрисковая) позиция должна приводить к безрисковой норме доходности.
Развитие Блэка-Шоулза
Начнем с установления проблемы, ее количественной оценки и разработки основы для ее решения. Мы продолжаем наш пример оценки опциона колл банкомата на IBM со страйк-ценой 155 долларов и сроком до истечения одного года.
Согласно базовому определению опциона колл, если цена акции не достигает уровня страйк-цены, выплата остается нулевой. После этого уровня выплата увеличивается линейно (т. Е. Увеличение базового актива на один доллар обеспечит выплату в размере одного доллара по опциону колл).
Предполагая, что покупатель и продавец договорились о справедливой оценке (включая нулевую цену), теоретическая справедливая цена для этого опциона колл будет:
- Цена опциона колл = $ 0, если базовый <страйк (красный график)
- Цена опциона колл = (базовый — страйк), если базовый> = страйк (синий график)
Это представляет собой внутреннюю стоимость опциона и выглядит идеально с точки зрения покупателя опциона колл. В красной области и покупатель, и продавец имеют справедливую оценку (нулевая цена для продавца, нулевая выплата для покупателя). Однако проблема оценки начинается с синей области, поскольку покупатель имеет преимущество в виде положительной выплаты, в то время как продавец несет убытки (при условии, что базовая цена превышает цену исполнения). Здесь покупатель имеет преимущество перед продавцом с нулевой ценой. Цена должна быть ненулевой, чтобы продавец компенсировал риск, который он принимает.
В первом случае (красный график) теоретически продавец получает нулевую цену и нулевой потенциал выплаты для покупателя (справедливый для обоих). В последнем случае (синий график) разница между базовым активом и страйком оплачивается продавцом покупателю. Риск продавца распространяется на весь год. Например, цена базовой акции может очень сильно подняться (скажем, до 200 долларов через четыре месяца), и продавец должен выплатить покупателю разницу в 45 долларов.
Таким образом, это сводится к:
- Будет ли цена базового актива пересекать цену исполнения?
- Если да, то насколько высока может подняться базовая цена (поскольку это определит выплату покупателю)?
Это указывает на большой риск, который принимает на себя продавец, что приводит к вопросу — зачем кому-то продавать такую колл, если они ничего не получают за взятый на себя риск?
Наша цель — прийти к единой цене, которую продавец должен назначить покупателю, которая может компенсировать ему общий риск, который он принимает на себя в течение года — как в области нулевых платежей (красный), так и в области линейных платежей (синий).. Цена должна быть справедливой и приемлемой как для покупателя, так и для продавца. В противном случае тот, кто находится в невыгодном положении с точки зрения уплаты или получения несправедливой цены, не будет участвовать на рынке, тем самым поставив под сомнение цель торгового бизнеса. Модель Блэка-Шоулза направлена на установление этой справедливой цены с учетом изменения постоянной цены акции, временной стоимости денег, цены исполнения опциона и времени до истечения срока действия опциона. Подобно модели BS, давайте посмотрим, как мы можем подойти к оценке этого в нашем примере, используя наши собственные методы.
Как оценить внутреннюю стоимость в синем регионе?
Доступны несколько методов для прогнозирования ожидаемого движения цены в будущем в течение заданного периода времени:
- Можно проанализировать аналогичные движения цен той же продолжительности в недавнем прошлом.Историческая цена закрытия IBM показывает, что за последний год (2 января 2014 г. — 31 декабря 2014 г.) цена упала до 160,44 доллара с 185,53 доллара, что на 13,5%. Можем ли мы сделать вывод о повышении цен на IBM на 13,5%?
- Дальнейшая детальная проверка показывает, что цена достигла годового максимума в 199,21 доллара (10 апреля 2014 г.) и годового минимума в 150,5 доллара (16 декабря 2014 г.). Если исходить из начального дня, 2 января 2014 года, и цены закрытия в размере 185,53 доллара США, процентное изменение варьируется от + 7,37% до -18,88%. Теперь диапазон вариации выглядит намного шире по сравнению с ранее рассчитанным снижением на 13,5%.
Можно продолжить аналогичный анализ и наблюдения за историческими данными. Чтобы продолжить разработку нашей модели ценообразования, давайте возьмем эту простую методологию для оценки будущих изменений цен.
Предположим, что IBM растет на 10% каждый год (на основе исторических данных за последние 20 лет). Базовая статистика показывает, что вероятность колебания цены акций IBM около + 10% будет намного выше, чем вероятность повышения цены IBM на 20% или снижения на 30%, если предположить, что исторические закономерности повторяются. Собирая аналогичные точки исторических данных со значениями вероятности, можно рассчитать общую ожидаемую доходность цены акций IBM в течение одного года как средневзвешенное значение вероятностей и связанных доходностей. Например, предположим, что исторические ценовые данные IBM указывают на следующие движения:
- (-10%) в 25% раз,
- + 10% в 35% раз,
- + 15% в 20% раз,
- + 20% в 10% раз,
- + 25% в 5% раз и
- (-15%) в 5% раз.
Следовательно, средневзвешенное значение (или ожидаемое значение) составляет:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% — 15% * 5%) / 100% = 6,5%
То есть в среднем ожидается, что цена акций IBM вернется на 6,5% через год на каждый доллар. Если кто-то покупает акции IBM с горизонтом в один год и ценой покупки 155 долларов, можно ожидать, что чистая прибыль составит 155 * 6,5% = 10,075 долларов.
Однако это для возврата акций. Нам нужно искать аналогичную ожидаемую доходность для опциона колл.
Исходя из нулевой выплаты по колл ниже страйк-цены (существующий 155 долларов — звонок через банкомат), все отрицательные движения приведут к нулевым выплатам, в то время как все положительные движения выше страйк-цены будут генерировать эквивалентную выплату. Таким образом, ожидаемая доходность по опциону колл составит:
( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% — 0 % * 5%) / 100% = 9,75%
То есть на каждые 100 долларов, вложенных в покупку этого опциона, можно ожидать 9,75 доллара (исходя из приведенных выше предположений).
Однако это по-прежнему ограничивается справедливой оценкой внутренней суммы опциона и неправильно отражает риск, который несет продавец опциона в связи с высокими колебаниями, которые могут произойти в промежуточный период (в случае вышеупомянутых внутригодовых максимумов и минимумов). Цены). В дополнение к внутренней стоимости, какая цена может быть согласована между покупателем и продавцом, чтобы продавец получил справедливую компенсацию за риск, который он принимает на себя в течение одного года?
Эти колебания могут сильно различаться, и продавец может иметь собственное толкование того, сколько он хочет получить за это вознаграждение. Модель Блэка-Шоулза предполагает опционы европейского типа, т. Е. Отсутствие исполнения до истечения срока их действия. Таким образом, он остается незатронутым промежуточными колебаниями цен и основывает свою оценку на сквозных торговых днях.
В реальной дневной торговле эта волатильность играет важную роль в определении цен опционов. Синяя функция выплаты, которую мы обычно видим, на самом деле является выплатой на дату истечения срока действия. На самом деле цена опциона (розовый график) всегда выше выплаты (синий график), что указывает на цену, которую берет продавец, чтобы компенсировать его способность идти на риск. Вот почему цена опциона также известна как опционная «премия» — по сути, она указывает на премию за риск.
Это может быть включено в нашу модель оценки в зависимости от ожидаемой волатильности цены акций и ожидаемой ценности, которая может принести прибыль.
Модель Блэка-Шоулза делает это эффективно (конечно, в рамках собственных допущений) следующим образом:
Модель BS предполагает логнормальное распределение движения цен акций, что оправдывает использование N (d1) и N (d2).
- В первой части S указывает текущую цену акции.
- N (d1) указывает вероятность текущего движения цены акции.